Terence Chi-Shen Taoは、オーストラリア系アメリカ人の数学者である。カリフォルニア大学ロサンゼルス校(UCLA)の数学教授であり、James and Carol Collins講座を保持している。彼の研究は、調和解析、偏微分方程式、代数的組合せ論、加法的組合せ論、幾何学的組合せ論、確率論、圧縮センシング、解析的整数論など多岐にわたる。
2006年Fields Medal、2014年Breakthrough Prize in Mathematicsを受賞。また2006年MacArthur Fellowにも選ばれている。Taoは300本を超える研究論文の著者または共著者である。
Taoの両親は香港からオーストラリアへの第一世代移民である。父親のBilly Tao医師は中国・上海生まれで、1969年にUniversity of Hong Kongで医学位(MBBS)を取得した小児科医である。母親のGraceは香港出身で、University of Hong Kongで天体物理学と数学の一級優等学位を取得。香港で数学と物理学の中等学校教師を務めていた。BillyとGraceはUniversity of Hong Kongで学生として出会い、1972年に香港からオーストラリアへ移住した。
Taoには、オーストラリアに住む二人の兄弟、NigelとTrevorがいる。二人とも以前、国際数学オリンピックでオーストラリア代表を務めた。
Taoの妻Lauraは、NASAのJet Propulsion Laboratoryの電気技師である。カリフォルニア州ロサンゼルスで息子のWilliamと娘のMadeleineとともに暮らしている。
神童であったTaoは、幼少期から並外れた数学的能力を示し、9歳で大学レベルの数学講座を受講した。Johns HopkinsのStudy of Exceptional Talent programの歴史上、わずか8歳でSAT数学セクションで700点以上を獲得した二人の子供のうちの一人であり、Taoは760点を記録した。Study of Mathematically Precocious YouthのディレクターJulian Stanleyは、長年の集中的な探索の中で彼が見出した最高の数学的推論能力を持つと述べた。Taoは国際数学オリンピックの史上最年少参加者であり、10歳で初出場。1986年、1987年、1988年にそれぞれ銅メダル、銀メダル、金メダルを獲得した。彼は今なお、オリンピック史上三つのメダルすべての最年少受賞者であり、1988年に13歳で金メダルを獲得した。
 Terence Chi-Shen Tao
14歳でTaoはResearch Science Instituteに参加。15歳で最初の補助論文を発表した。1991年、16歳でFlinders UniversityでGarth Gaudryの指導の下、学士号と修士号を取得。1992年、Princeton Universityで数学研究を行うためのPostgraduate Fulbright Scholarshipを獲得した。1992年から1996年まで、TaoはPrinceton UniversityでElias Steinの指導の下で大学院生として学び、21歳でPhDを取得。1996年、University of California, Los Angelesの教員となる。1999年、24歳でUCLAの正教授に昇進し、同大学で史上最年少でその地位に任命された人物として記録されている。
数学の分野において、TaoはOxford Universityの英国人数学者Ben J. Greenとの共同研究で知られ、二人はGreen–Tao定理を証明した。協働的な姿勢で知られ、2006年までに30人以上と共同で発見を行い、2015年10月までに共著者は68人に達した。
英国の数学者Timothy Gowersは書評の中で、Taoの業績についてこう述べている。
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Taoの数学的知識は、広さと深さの驚異的な組み合わせを持っている。偏微分方程式、解析的整数論、3次元多様体の幾何学、非標準解析、群論、モデル理論、量子力学、確率論、エルゴード理論、組合せ論、調和解析、画像処理、関数解析、その他多くのテーマについて、自信を持って権威的に書くことができる。これらのうちいくつかは彼が根本的な貢献をした分野である。その他は、公式にはその分野で研究していないにもかかわらず、専門家の深い直観的レベルで理解しているように見える分野である。これらすべてを、驚異的なペースで論文や書籍を執筆しながらどのように成し遂げるのかは、完全な謎である。David Hilbertが数学のすべてを知る最後の人物だったと言われているが、Taoの知識にギャップを見つけるのは容易ではなく、見つけたとしても一年後にはそのギャップが埋められているかもしれない。
Taoは長年にわたり数多くの数学者としての栄誉と賞を受賞してきた。
彼はRoyal Society、Australian Academy of Science(通信会員)、National Academy of Sciences(外国会員)、American Academy of Arts and Sciences、American Mathematical SocietyのFellowである。2006年には「偏微分方程式、組合せ論、調和解析、加法的整数論への貢献」によりFields Medalを受賞し、MacArthur Fellowshipも授与された。The New York Times、CNN、USA Today、Popular Scienceをはじめ、多くのメディアで取り上げられている。
2019年時点で、Taoは約350本の研究論文と18冊の書籍を出版している。彼のErdős数は2である。
2018年、Taoはde Bruijn–Newman定数の境界を証明した。2019年、Taoは確率を用いてCollatz予想について、ほぼすべてのCollatz軌道がほぼ有界な値に到達することを証明した。
2004年、Ben GreenとTaoは、現在Green–Tao定理として知られる証明のプレプリントを発表した。この定理は、素数の任意の長さの等差数列が存在することを述べている。The New York Timesは次のように説明した。
> 2004年、Taoは、現在University of CambridgeのBen Greenと共に、素数の等差数列——等間隔に並ぶ数の列——に着目することで、双子素数予想に関連する問題を解決した。(例えば、3、7、11は公差4の素数列を構成する。次の数である15は素数ではない。)TaoとGreenは、整数の無限の中のどこかに、任意の長さを持つ等間隔の素数列が必ず存在することを証明した。
この業績を含む研究により、Taoは2004年のオーストラリア数学会メダルを授与された。2006年8月、マドリッドで開催された第25回国際数学者会議においてFields Medalを授与された。彼はこの賞を受賞した最初のオーストラリア人、最初のUCLA教員、そして最年少数学者の一人となった。
New Scientistの記事は、彼の能力についてこう記している。
> Taoの名声は非常に高く、数学者たちは今や彼を自分たちの問題に関心を持たせようと競い合っており、彼は行き詰まった研究者たちにとって一種の解決屋となりつつある。「問題に行き詰まったら、Terence Taoを関心を持たせることが一つの脱出法だ」とCharles Fefferman[Princeton大学数学教授]は語る。
Taoは2007年のオーストラリアン・オブ・ザ・イヤーの最終候補者となった。彼はオーストラリア科学アカデミーの通信会員であり、2007年にはRoyal Societyのフェローに選出された。同年、Taoは情報理論の分野におけるSzemerédiの正則性補題の拡張であるTaoの不等式も発表した。
2008年4月、Taoはキャリア初期の科学者の傑出した貢献を表彰するAlan T. Waterman賞を受賞した。メダルに加え、Waterman賞受賞者には先端研究のための50万ドルの助成金も授与される。
2008年12月、彼は「現代数学において前例のない方法で、数学的深さ、広さ、そして量を兼ね備えている」として、2008年のLars Onsager講師に選ばれた。彼はOnsagerメダルを授与され、ノルウェーのNTNUで「素数における構造とランダム性」と題するLars Onsager講演を行った。
Taoはまた、2009年にAmerican Academy of Arts and Sciencesのフェローに選出された。
2010年、彼はEnrico Bombieriと共同でKing Faisal国際賞を受賞した。同じく2010年には、圧縮センシングに関する研究でEmmanuel Candèsと共同でNemmers数学賞およびPólya賞(SIAM)を受賞した。
1950年代、Eugene Wignerはランダム行列とその固有値の研究を開始した。Wignerはエルミート行列と対称行列の場合を研究し、それらの固有値に対する「半円法則」を証明した。2010年、TaoとVan Vuは非対称ランダム行列の研究に大きな貢献をした。彼らは、nが大きく、n×n行列Aの要素が平均0、標準偏差1の任意の固定確率分布に従ってランダムに選択される場合、Aの固有値は原点を中心とする半径n^(1/2)の円盤全体に均一に散らばる傾向があることを示した。これは測度論の言語を使って厳密に記述できる。これにより、長年予想されていた円形法則の証明が得られた。この法則はそれ以前に多くの著者によってより弱い形で証明されていた。TaoとVuの定式化では、円形法則は「普遍性原理」の直接的な帰結となる。この原理は、固有値の分布は与えられた成分ごとの確率分布の平均と標準偏差にのみ依存できると述べており、これにより一般的な円形法則を特別に選ばれた確率分布に対する計算に帰着させることができる。
2011年、TaoとVuは「四次モーメント定理」を確立した。これは、成分が独立に分布し、それぞれが平均0、標準偏差1を持ち、(ガウス分布のように)大きな値を取る可能性が指数関数的に低いランダムエルミート行列に適用される。対角要素の任意の二次多項式の平均値と、非対角要素の任意の四次多項式の平均値において一致する二つのランダム行列を考えると、TaoとVuは、固有値の関数の多くの期待値も一致することを示した。その誤差は行列のサイズによって一様に制御可能であり、行列のサイズが大きくなるにつれて任意に小さくなる。同様の結果は同時期にLászló Erdös、Horng-Tzer Yau、Jun Yinによっても得られた。
 スーツ姿のTerence
2004年、TaoはJean BourgainおよびNets Katzと共に、素数位数の有限体の部分集合の加法的および乗法的構造を研究した。そのような体には自明でない部分環が存在しないことはよく知られている。Bourgain、Katz、Taoはこの事実の定量的定式化を提供し、そのような体の任意の部分集合について、部分集合の要素の和と積の数は、体のサイズと部分集合自体のサイズと比較して定量的に大きくなければならないことを示した。彼らの結果の改良は後にBourgain、Alexey Glibichuk、Sergei Konyaginによって与えられた。
2008年に発表されたが2004年以来知られていた研究において、TaoとBen Greenは素数の中に任意の長さの等差数列が存在することを証明した。この結果は一般にGreen-Taoの定理と呼ばれている。GreenとTaoの等差数列の源泉は、Endre Szemerédiによる1975年の画期的な定理であり、特定の整数集合における等差数列の存在を扱っている。GreenとTaoは、「転移原理」を用いてSzemerédiの定理の妥当性をさらなる整数集合に拡張できることを示した。Green-Taoの定理はその特殊ケースとして現れるが、素数がGreenとTaoによるSzemerédi定理の拡張の条件を満たすことを示すのは自明ではない。 2010年、GreenとTaoは、等差数列に関するディリクレの著名な定理の多重線形拡張を発表した。k × n行列Aとすべての成分が整数であるk × 1行列vが与えられたとき、GreenとTaoは、Ax + vのすべての成分が素数となるようなn × 1行列xが無限に存在する条件を示した。GreenとTaoの証明は、未証明の予想を前提としていたため不完全であった。これらの予想は、後にGreen、Tao、Tamar Zieglerによる研究で証明された。
2012年、長年の共著者Ben Greenとの共同研究において、ディラック・モツキン予想と「果樹園問題」(平面上の、すべてが一直線上にあるわけではないn個の点の集合において、ちょうど3点を通る直線の最大数を問う問題)の証明が発表された。同年、Taoは高次フーリエ解析のテーマに関する初のモノグラフを出版した。
2014年、TaoはJohns Hopkins Center for Gifted and Talented Youthから、自身が卒業したプログラムに在籍する8年生と9年生の963名の出席者の前でCTY Distinguished Alumni Honorを受賞した。同年、Taoは平均化された3次元ナビエ・ストークス方程式の有限時間爆発を確立することで、ナビエ・ストークス方程式の存在と滑らかさに関するミレニアム問題への可能な攻略法についての研究を発表した。同年、複数の共著者と共同で、短い素数ギャップと長い素数ギャップに関するいくつかの結果も証明した。
2015年9月、Taoは解析的整数論においてエントロピー推定を初めて用いることで、エルデシュ不一致問題の証明を発表した。
