喜んで私はファエトンのように火で死ぬだろう。もしこれが太陽に到達し、その形、大きさ、そして物質を学ぶための代償であれば。
Eudoxus of Cnidusは古代ギリシャの天文学者、数学者、学者であり、Archytasとプラトの弟子でした。彼のすべての著作は失われていますが、いくつかの断片がHipparchus' commentaryのAratus天文学の詩に保存されています。Theodosius of BithyniaSphaerics はEudoxusの著作に基づいているかもしれません。
生涯
EudoxusはCnidus(Knidosとも表記)で生まれ死にました。Cnidusは現在のトルコの南西海岸にある都市です。Eudoxusの生年と没年は完全には知られていませんが、その範囲はおおよそ紀元前408年～355年、またはおおよそ紀元前390年～337年である可能性があります。彼の名前Eudoxusは「尊敬される」または「高い評判の」εὔδοξοςを意味し、eu「良い」とdoxa「意見、信念、名声」に由来します。これはラテン語の名前Benedictusに類似しています。
Eudoxusの父Aeschines of Cnidusは、夜に星を見ることが大好きでした。Eudoxusはまずタレントゥムに旅して、Archytasに学びました。Archytasから彼は数学を学びました。イタリアにいる間、Eudoxusはシチリアを訪れ、そこでフィリストンと医学を勉強しました。
23歳の時、彼は医師Theomedonとともに—Diogenes Laërtius によると、ある人々は彼が彼の恋人であると信じていました—アテネに旅して、ソクラテスの追従者とともに勉強するために。彼は最終的にプラトや他の哲学者の講義に数ヶ月間出席しましたが、彼らが抱いていた意見の相違のため、決裂しました。Eudoxusはかなり貧しく、ピレウスのアパートしか借りることができませんでした。プラトの講義に出席するために、彼は毎日各方向に7マイル(11km)を歩きました。彼の貧困のため、彼の友人たちは彼をヘリオポリス、エジプトに送るのに十分な資金を集めました。彼は天文学と数学の研究を追求するためです。彼はそこに16ヶ月間住みました。エジプトから、彼はその後北にキュジコスに旅しました。キュジコスはマルマラ海、プロポンティスの南岸に位置しています。彼は南にマウソルスの宮廷に旅しました。彼の旅の間、彼は多くの自分自身の学生を集めました。
紀元前368年頃、Eudoxusは彼の学生たちとアテネに戻りました。いくつかの情報源によると、紀元前367年頃、彼はプラトのシラキュース期間中にアカデメイアの長を引き継ぎ、アリストテレスを教えました。彼は最終的に彼の故郷Cnidusに戻り、そこで都市議会に務めました。Cnidusにいる間、彼は天文台を建設し、神学、天文学、気象学について執筆と講演を続けました。彼は1人の息子Aristagoras、および3人の娘Actis、Philtis、およびDelphisがいました。
数学天文学では、彼の名声は同心球の導入と、惑星の動きの理解への初期の貢献によるものです。
比率についての彼の仕事は実数への洞察を示しています。それは連続量の厳密な扱いを許可し、単に全数またはさらには有理数だけではありません。16世紀にTartagliaおよび他の人々によって復活したとき、それは1世紀間科学における定量的な仕事の基礎となり、Richard Dedekindによって置き換えられるまでです。
火星と月のクレーターは彼の栄誉のために彼の名前が付けられています。代数曲線のKampyle of Eudoxusも彼の名前が付けられています。
数学
Eudoxusは古典的なギリシャ数学者の中で最も偉大であると考えられており、古代全体ではアルキメデスの次が二番目です。Eudoxusはおそらくユークリッドの『原論』の第V巻の大部分の情報源です。彼は厳密にアンティフォンの尽力法を発展させました。これは積分計算の前駆体であり、翌世紀にアルキメデスによって巧みな方法で使用されました。この方法を適用する際に、Eudoxusは次のような数学的ステートメントを証明しました。円の面積は互いにそれらの半径の二乗に対応しています、球の体積は互いにそれらの半径の立方に対応しています、ピラミッドの体積は同じ底面と高度を持つプリズムの体積の3分の1です、そして円錐の体積は対応するシリンダーの3分の1です。
Eudoxusは、無量の数学的大きさの考えを導入して、線、角度、領域、体積などの連続幾何学的エンティティを説明し、それらと連携し、それによって無理数の使用を回避しました。そうすることで、彼は数と算術に関するピタゴラスの強調を逆転させ、代わりに厳密な数学の基礎として幾何学的概念に焦点を当てました。Eudoxusの教師Archytasなどの一部のピタゴラス派は、算術だけが証明の基礎を提供できると信じていました。通約不可能な量を理解し、操作する必要に駆られて、Eudoxusは明示的な公理の基礎に基づいた数学の最初の演繹的な組織を確立した可能性があります。Eudoxusによる焦点の変化は、2000年続いた数学の分割を刺激しました。実際的な問題に無関心なギリシャの知的態度と組み合わせて、算術と代数の技術の発展から大幅な後退が続きました。
ピタゴラス派は、正方形の対角線が正方形の側面と共通の測定単位を持たないことを発見しました。これは、2の平方根を2つの整数の比として表すことができないという有名な発見です。この発見は、整数と有理分数を超えた通約不可能な量の存在を前兆としていましたが、同時に測定と全体としての幾何学の計算のアイデアに疑問を投げかけました。例えば、ユークリッドは『原論』I.47によるピタゴラスの定理の精密な証明を提供します。領域の追加を使用し、その後ずっと後に『原論』VI.31線分の比率に依存する同じ三角形からのより単純な証明を提供しています。
古代ギリシャの数学者は、今日のような量と方程式で計算しませんでしたが、代わりに比例を使用して量の間の関係を表現しました。したがって、2つの同様の量の比は、今日のように単なる数値ではなく、2つの同様の量の比は、それらの間の原始的な関係でした。
Eudoxusは、2つの比の間の等価性の意味のための驚くべき定義を提供することにより、比例の使用への信頼を回復することができました。この比率の定義は、ユークリッドの第V巻の主題を形成します。
ユークリッドの第V巻の定義5で、私たちは次のことを読みます。大きさは同じ比率であると言われます。最初から2番目へ、3番目から4番目へ。最初と3番目の任意の等倍を取られたとき、および2番目と4番目の任意の等倍が取られたとき、前者の等倍は同様に超過し、同様に等しい、または対応する順序で個別に取られた後者の等倍に対応する場合。
現代的な表記法を使用して、これは次のように明確化されます。4つの量a、b、c、およびdを取る場合、1番目と2番目は比a/bを持ちます。
ここでa/b = c/dを言うには、次のことを行います。任意の2つの任意の整数mおよびnについて、最初と3番目の等倍m·aおよびm·cを形成します。同様に、2番目と4番目の等倍n·bおよびn·dを形成します。
m·a > n·bの場合、m·c > n·dも必ずあります。m·a = n·bが発生した場合、m·c = n·dも必ずあります。最後に、m·a < n·bが発生した場合、m·c < n·dも必ずあります。
定義は、同様の量m·aおよびn·b、および同様の量m·cおよびn·dを比較することに依存し、これらの量を測定するための共通の単位の存在に依存しないことに注意してください。
定義の複雑さは、関連する深い概念的および方法的なイノベーションを反映しています。これはユークリッドの平行線に関する有名な5番目の公理を思い出させます。これは他の公準よりも表現でより広範で複雑です。
Eudoxusの比率の定義は、量指定子「すべての... 」を使用して、制限と連続性の現代的なイプシロン-デルタ定義と同じように、無限と無限小を利用しています。
さらに、ユークリッドの第V巻の定義4として述べられているアルキメデスの特性は、元々アルキメデスではなくEudoxusに由来しています。
天文学
古代ギリシャでは、天文学は数学の一分野でした。天文学者は、天体の動きの外観を模倣することができる幾何学的モデルを作成することを目指していました。Eudoxusの天文学的な仕事を別のカテゴリとして識別することは、したがって現代的な便利です。名前が生き残っているEudoxusのいくつかの天文学的なテキストには以下が含まれます。
- 太陽の消失。おそらく日食に関するもの
- Oktaeteris Ὀκταετηρίς、暦の8年の太陽暦-金星サイクルについて
- Phaenomena Φαινόμενα およびEntropon Ἔντροπον、球面天文学について。おそらくEudoxusがエジプトとCnidusで行った観察に基づいています
- 速度について、惑星の動きについて
Eudoxusの散文テキストがAratusの同じ名前の詩の基礎となったため、Phaenom enaの内容についてはかなりよく知られています。Hipparchusはおそらくhisのテキストから、Aratusの彼のコメントで引用しました。
Eudoxan惑星モデル
スピードについての内容の一般的なアイデアは、アリストテレスのメタフィジクスXII、8、およびChilicia 6世紀AD のSimplicius による『デ・ケロ』(アリストテレスによる別の著作)のコメントから推測することができます。Simpliciusによって報告された物語によると、プラトはギリシャの天文学者に質問を提起しました。「均一で整然とした動きの仮定によって、惑星の見かけ上の動きはどのように説明されますか?」Lloyd 1970、p。84で引用されています。プラトは、惑星の一見混乱した放浪の動きは、球形地球を中心とした均一な円形運動の組み合わせによって説明でき、紀元前4世紀には新しいアイデアであるようです。
Eudoxanモデルのほとんどの現代的な再構成では、月は3つの球が割り当てられています。
- 最も外側は24時間で西に回転し、昇降を説明しています。
- 2番目は東に1ヶ月に1回回転し、月の黄道帯を通した毎月の動きを説明します。
- 3番目もまた1ヶ月で1回転を完了しますが、その軸はわずかに異なる角度で傾斜されており、纬度での動き(黄道からの偏差)と月のノードの動きを説明しています。
太陽にも3つの球が割り当てられています。2番目は1ヶ月の代わりに1年で動きを完了しています。3番目の球の包括は、Eudoxusが太陽が纬度で動きを持っていると誤って信じていたことを意味しています。
5つの見える惑星金星、水星、火星、木星、および土星には、それぞれ4つの球が割り当てられています。
- 最も外側は日々の動きを説明しています。
- 2番目は黄道帯を通した惑星の動きを説明します。
- 3番目と4番目は一緒に逆行を説明しています。惑星が遅くなり、その後黄道帯を通して簡潔にその動きを逆転させると思われます。2つの球の軸を相互に傾け、それらを反対方向に回転させるが等しい期間で、Eudoxusは内部球上のポイントが図8の形またはhippopede を追跡させることができました。
Eudoxanシステムの重要性
Callippusは、4世紀のギリシャ天文学者で、Eudoxusの元の27に7つの球を追加しました。惑星球に加えて、Eudoxusは固定星のための球を含みました。アリストテレスは両方のシステムを説明しましたが、各球のセット間に「展開」球を追加することを主張しました。外側の集合の動きをキャンセルするため。アリストテレスはシステムの物理的な性質について懸念していました。ローラーなしで、外側の動きは内部惑星に転送されます。
Eudoxanシステムの主な欠陥は、地球から見た惑星の明るさの変化を説明できないことです。球は同心円であるため、惑星は常に地球から同じ距離に留まります。この問題は古代にPitaneのAutolycusによって指摘されました。天文学者は、遠地点と周転円を導入することで対応しました。これにより、惑星が距離を変えました。しかし、Eudoxusのギリシャ天文学への重要性は実質的です。彼は惑星の数学的な説明を試みた最初の人物でした。
倫理学
アリストテレスは『ニコマコス倫理学』で、Eudoxusに快楽主義に賛成する議論を起こさせています。つまり、喜びは活動が追求する究極の善です。アリストテレスによると、Eudoxusは次の立場のための次の議論を提出しました。
- すべてのもの、理性的および非理性的は、喜びを目指しています。ものは彼らが善であると信じるものを目指しています。最高の善が何であるかについての良い指標は、ほとんどのものが目指すものです。
- 同様に、喜びの反対—痛みは普遍的に回避され、喜びが普遍的に良いと考えられているというアイデアに追加サポートを提供します。
- 人々は喜びを別のものへの手段として求めていません。それ自体が終わりとして。
- あなたが考えることができる他の善は、喜びが追加された場合、より良くなり、それは善によってのみ善が増加します。
- 良いことのすべての中で、幸福は褒められないことが異なっており、それはそれが最高の善であることを示すかもしれません。
