Sophie Germain

Es ist unwichtig, wer zuerst auf eine Idee kommt, sondern wie weit diese Idee gehen kann

Marie-Sophie Germain war eine französische Mathematikerin, Physikerin und Philosophin. Trotz anfänglicher Gegenwehr ihrer Eltern und Schwierigkeiten durch die Gesellschaft erwarb sie sich Bildung durch Bücher aus der Bibliothek ihres Vaters, darunter Werke von Leonhard Euler, und durch Korrespondenz mit berühmten Mathematikern wie Lagrange, Legendre und Gauss unter dem Pseudonym «Monsieur LeBlanc». Als eine der Pionierinnen der Elastizitätstheorie gewann sie den Großpreis der Pariser Akademie der Wissenschaften für ihren Essay zu diesem Thema. Ihre Arbeit zum Großen Satz von Fermat legte den Grundstein für Mathematiker, die sich jahrhundertelang danach mit dem Thema beschäftigten. Wegen Vorurteilen gegen ihr Geschlecht konnte sie keine mathematische Karriere verfolgen, arbeitete aber ihr ganzes Leben lang unabhängig. Vor ihrem Tod hatte Gauss empfohlen, ihr einen Ehrendoktor zu verleihen, doch dies geschah nie. Am 27. Juni 1831 starb sie an Brustkrebs. Zu ihrem hundertsten Geburtstag wurden eine Straße und eine Mädchenschule nach ihr benannt. Die Akademie der Wissenschaften etablierte den Sophie-Germain-Preis zu ihren Ehren.

Frühes Leben

Familie

Marie-Sophie Germain wurde am 1. April 1776 in Paris, Frankreich, in einem Haus in der Rue Saint-Denis geboren. Nach den meisten Quellen war ihr Vater, Ambroise-François, ein wohlhabender Seidenhandelsmann, obwohl einige glauben, er sei ein Goldschmied gewesen. 1789 wurde er als Vertreter der Bourgeoisie zu den États-Généraux gewählt, wo er deren Umwandlung in die Verfassunggebende Versammlung miterlebte. Es wird daher angenommen, dass Sophie viele Diskussionen zwischen ihrem Vater und seinen Freunden über Politik und Philosophie miterlebte. Gray schlägt vor, dass Ambroise-François nach seiner politischen Karriere Direktor einer Bank wurde; in jedem Fall blieb die Familie wohlhabend genug, um Germain ihr ganzes Leben lang zu unterstützen.

Marie-Sophie hatte eine jüngere Schwester namens Angélique-Ambroise und eine ältere Schwester namens Marie-Madeline. Ihre Mutter hieß ebenfalls Marie-Madeline, und diese Fülle von «Maries» könnte der Grund sein, warum sie sich Sophie nannte. Germains Neffe Armand-Jacques Lherbette, der Sohn von Marie-Madeline, veröffentlichte nach ihrem Tod einige von Germains Arbeiten (siehe Arbeiten zur Philosophie).

Einführung in die Mathematik

Als Germain 13 Jahre alt war, fiel die Bastille, und die revolutionäre Atmosphäre der Stadt zwang sie, im Haus zu bleiben. Zur Unterhaltung wandte sie sich der Bibliothek ihres Vaters zu. Dort fand sie J. E. Montuclas «L'Histoire des Mathématiques», und die Geschichte vom Tod des Archimedes faszinierte sie.

Sophie Germain dachte, dass wenn die Geometriemethode, die damals die gesamte reine Mathematik bezeichnete, eine solche Faszination für Archimedes haben konnte, es ein würdiges Studienfach sein müsse. Also studierte sie jedes Mathematikbuch in der Bibliothek ihres Vaters, lehrte sich sogar selbst Latein und Griechisch, um Werke wie die von Isaac Newton und Leonhard Euler lesen zu können. Sie genoss auch das «Traité d'Arithmétique» von Étienne Bézout und «Le Calcul Différentiel» von Jacques Antoine-Joseph Cousin. Später besuchte Cousin Germain zu Hause und ermutigte sie in ihren Studien.

Germains Eltern billigten ihre plötzliche Faszination für Mathematik überhaupt nicht, die damals als ungeeignet für eine Frau galt. In der Nacht würden sie ihr warme Kleidung und Feuer für ihr Schlafzimmer verweigern, um sie vom Studieren abzuhalten, aber nachdem sie gegangen waren, würde sie Kerzen herausholen, sich in Quilts wickeln und Mathematik treiben. Nach einiger Zeit unterstützte ihre Mutter sie sogar heimlich.

École Polytechnique

1794, als Germain 18 Jahre alt war, öffnete die École Polytechnique ihre Türen. Als Frau war Germain vom Besuch ausgeschlossen, aber das neue Bildungssystem machte die «Vorlesungsnoten für alle zugänglich, die sie anforderten». Das neue System verlangte auch, dass die Studenten «schriftliche Beobachtungen einreichten». Germain beschaffte sich die Vorlesungsnoten und begann, ihre Arbeiten an Joseph Louis Lagrange, ein Fakultätsmitglied, zu senden. Sie benutzte den Namen eines ehemaligen Studenten, Monsieur Antoine-Auguste Le Blanc, und fürchtete, wie sie später Gauss erklärte, «den Spott, der mit einer weiblichen Wissenschaftlerin verbunden ist». Als Lagrange die Intelligenz von M. Le Blanc erkannte, bat er um ein Treffen, und somit war Sophie gezwungen, ihre wahre Identität preiszugeben. Glücklicherweise machte es Lagrange nichts aus, dass Germain eine Frau war, und er wurde ihr Mentor.

Frühe Arbeiten in der Zahlentheorie

Korrespondenz mit Legendre

Germain interessierte sich erstmals 1798 für Zahlentheorie, als Adrien-Marie Legendre sein «Essai sur la théorie des nombres» veröffentlichte. Nach dem Studium des Werkes nahm sie Korrespondenz mit ihm über Zahlentheorie und später über Elastizität auf. Legendre zeigte einige von Germains Arbeiten im Supplément zur zweiten Auflage seiner «Théorie des Nombres», wo er sie als très ingénieuse «sehr geniessreich» bezeichnet. Siehe auch ihre Arbeiten zum Großen Satz von Fermat weiter unten.

Korrespondenz mit Gauss

Germains Interesse an Zahlentheorie wurde erneuert, als sie Carl Friedrich Gauss' monumentales Werk «Disquisitiones Arithmeticae» las. Nach drei Jahren, in denen sie die Übungen durcharbeitete und ihre eigenen Beweise für einige Theoreme versuchte, schrieb sie wiederum unter dem Pseudonym M. Le Blanc an den Autor selbst, der ein Jahr jünger als sie war. Der erste Brief vom 21. November 1804 behandelte Gauss' «Disquisitiones» und präsentierte einige von Germains Arbeiten zum Großen Satz von Fermat. In dem Brief behauptete Germain, den Satz für n = p − 1 bewiesen zu haben, wobei p eine Primzahl der Form p = 8k + 7 ist. Jedoch enthielt ihr Beweis eine schwache Annahme, und Gauss' Antwort kommentierte Germains Beweis nicht.

Um 1807 – Quellen unterscheiden sich – besetzten die Franzosen während der Napoleonischen Kriege die deutsche Stadt Braunschweig, in der Gauss lebte. Besorgt, dass ihm das Schicksal des Archimedes widerfahren könnte, schrieb Germain an General Pernety, einen Freund der Familie, und bat ihn, Gauss' Sicherheit zu gewährleisten. General Pernety schickte einen Bataillonsführer, um Gauss persönlich zu treffen und seine Sicherheit zu überprüfen. Wie sich herausstellte, war Gauss wohlauf, aber er war verwirrt über die Erwähnung von Sophies Namen.

Drei Monate nach dem Vorfall offenbarte Germain Gauss ihre wahre Identität. Er antwortete:

Wie kann ich mein Erstaunen und meine Bewunderung beschreiben, wenn ich sehe, wie mein geschätzter Korrespondent M. Le Blanc sich in diese berühmte Person verwandelt ... wenn eine Frau wegen ihres Geschlechts, unserer Gewohnheiten und Vorurteile unendlich mehr Hindernisse als Männer bei sich vertraut machen mit [der Zahlentheorie] kniffligen Problemen begegnet, und trotzdem diese Fesseln überwindet und eindringt in das, was am verborgensten ist, so hat sie zweifellos den edelsten Mut, außergewöhnliches Talent und überlegenes Genie.

Gauss' Briefe an Olbers zeigen, dass sein Lob für Germain aufrichtig war. In demselben Brief von 1807 behauptete Germain, dass wenn x n + y n nicht.

Obwohl Gauss Germain sehr schätzte, waren seine Antworten auf ihre Briefe oft verspätet, und er überprüfte generell nicht ihre Arbeiten. Schließlich wandten sich seine Interessen von der Zahlentheorie ab, und 1809 endeten die Briefe. Trotz der Freundschaft zwischen Germain und Gauss trafen sie sich nie.

Arbeiten zur Elastizität

Germains erster Versuch für den Akademiepreis

Als Germains Korrespondenz mit Gauss endete, interessierte sie sich für einen von der Pariser Akademie der Wissenschaften gesponserten Wettbewerb über Ernst Chladnis Experimente mit vibrierenden Metallplatten. Das Ziel des Wettbewerbs, wie von der Akademie formuliert, war es, «die mathematische Theorie der Vibration einer elastischen Oberfläche zu geben und die Theorie mit experimentellen Ergebnissen zu vergleichen». Lagranges Bemerkung, dass eine Lösung des Problems die Erfindung eines neuen Analysebereichs erfordern würde, schreckte alle bis auf zwei Teilnehmer ab: Denis Poisson und Germain. Dann wurde Poisson in die Akademie gewählt und wurde somit ein Richter statt eines Teilnehmers, wobei Germain als einziger Teilnehmer am Wettbewerb übrig blieb.

1809 begann Germain ihre Arbeit. Legendre half, indem er ihr Gleichungen, Referenzen und aktuelle Forschungen gab. Sie reichte ihre Arbeit im Herbst 1811 ein und gewann den Preis nicht. Die Jury fand, dass «die wahren Bewegungsgleichungen nicht etabliert wurden», obwohl «die Experimente ingeniöse Ergebnisse lieferten». Lagrange konnte Germains Arbeit nutzen, um eine Gleichung abzuleiten, die «unter besonderen Annahmen korrekt» war.

Spätere Versuche für den Preis

Der Wettbewerb wurde um zwei Jahre verlängert, und Germain beschloss, es noch einmal für den Preis zu versuchen. Zunächst setzte Legendre seine Unterstützung fort, weigerte sich dann aber, jegliche Hilfe zu leisten. Germains anonyme Einreichung von 1813 war immer noch voller mathematischer Fehler, besonders bei Doppelintegralen, und erhielt nur eine ehrende Erwähnung, weil «die grundlegende Basis der Theorie nicht etabliert war». Der Wettbewerb wurde noch einmal verlängert, und Germain begann ihre dritte Arbeit. Diesmal konsultierte sie mit Poisson. 1814 veröffentlichte er seine eigene Arbeit zur Elastizität und würdigte Germains Hilfe nicht, obwohl er mit ihr zum Thema zusammengearbeitet hatte und als Richter in der Akademiekommission Zugang zu ihrer Arbeit hatte.

Germain reichte ihre dritte Arbeit, «Recherches sur la théorie des surfaces élastiques», unter ihrem eigenen Namen ein, und am 8. Januar 1816 wurde sie die erste Frau, die einen Preis von der Pariser Akademie der Wissenschaften gewann. Sie erschien nicht bei der Zeremonie zur Entgegennahme ihrer Auszeichnung. Obwohl Germain endlich mit dem prix extraordinaire ausgezeichnet worden war, war die Akademie immer noch nicht vollständig zufrieden. Germain hatte die korrekte Differentialgleichung – ein Spezialfall der Kirchhoff-Love-Gleichung – abgeleitet, aber ihre Methode konnte experimentelle Ergebnisse nicht mit großer Genauigkeit vorhersagen, da sie sich auf eine falsche Gleichung von Euler verlassen hatte, was zu fehlerhaften Randbedingungen führte. Hier ist Germains endgültige Gleichung für die Vibration einer ebenen Lamina:

wobei N2 eine Konstante ist.

Nach dem Gewinn des Akademiewettbewerbs konnte sie immer noch nicht an dessen Sitzungen teilnehmen, weil die Akademie die Tradition hatte, Frauen auszuschließen, außer den Ehefrauen von Mitgliedern. Sieben Jahre später änderte sich diese Situation, als sie Freundschaft mit Joseph Fourier, einem Sekretär der Akademie, schloss, der für sie Karten zu den Sitzungen beschaffte.

Spätere Arbeiten zur Elastizität

Germain veröffentlichte ihren preisgekrönten Essay 1821 auf eigene Kosten, hauptsächlich weil sie ihre Arbeit in Gegensatz zu der von Poisson präsentieren wollte. In dem Essay wies sie auf einige Fehler in ihrer Methode hin.

1826 reichte sie eine überarbeitete Version ihres Essays von 1821 bei der Akademie ein. Nach Andrea Del Centina enthielt die Überarbeitung Versuche, ihre Arbeit durch «Einführung bestimmter vereinfachender Hypothesen» zu klären. Dies setzte die Akademie in eine unangenehme Lage, da sie das Papier als «unzureichend und trivial» empfand, aber nicht wollte, sie «als professionelle Kollegin zu behandeln, wie sie jeden Mann behandeln würde, indem sie einfach die Arbeit ablehnt». Also empfahl Augustin-Louis Cauchy, der zur Überprüfung ihrer Arbeit ernannt worden war, ihr, sie zu veröffentlichen, und sie folgte seinem Rat.

Eine weitere Arbeit von Germains zur Elastizität wurde 1831 posthum veröffentlicht, ihr «Mémoire sur la courbure des surfaces». Sie verwendete die mittlere Krümmung in ihrer Forschung (siehe Ehrungen in der Zahlentheorie).

Spätere Arbeiten in der Zahlentheorie

Erneuertes Interesse

Germains beste Arbeit war in der Zahlentheorie, und ihr bedeutendster Beitrag zur Zahlentheorie war ihr Umgang mit dem Großen Satz von Fermat. 1815 bot die Akademie nach dem Elastizitätswettbewerb einen Preis für einen Beweis des Großen Satzes von Fermat an. Dies weckte Germains Interesse an der Zahlentheorie erneut, und sie schrieb nach zehn Jahren ohne Korrespondenz wieder an Gauss.

In dem Brief sagte Germain, dass Zahlentheorie ihr bevorzugtes Gebiet sei und dass sie es die ganze Zeit, während sie Elastizität studierte, im Sinn hatte. Sie skizzierte eine Strategie für einen allgemeinen Beweis des Großen Satzes von Fermat, einschließlich eines Beweises für einen Spezialfall. Germains Brief an Gauss enthielt ihre wesentlichen Fortschritte in Richtung eines Beweises. Sie fragte Gauss, ob ihr Ansatz zum Satz es wert sei, verfolgt zu werden. Gauss antwortete nie.

Ihre Arbeiten zum Großen Satz von Fermat

Der Große Satz von Fermat kann in zwei Fälle unterteilt werden. Fall 1 umfasst alle Potenzen p, die keinen der x, y oder z teilen. Fall 2 umfasst alle p, die mindestens einen der x, y oder z teilen. Germain schlug folgendes vor, üblicherweise «Sophie Germains Satz» genannt:

1. wenn xp + yp + zp ≡ 0 (mod P), dann teilt P xyz, und
2. p ist kein p-ter Potenzrest (mod P).

Dann gilt der erste Fall des Großen Satzes von Fermat für p.

Germain verwendete dieses Ergebnis, um den ersten Fall des Großen Satzes von Fermat für alle ungeraden Primzahlen p < 100 zu beweisen, aber laut Andrea Del Centina «hatte sie tatsächlich gezeigt, dass er für jeden Exponenten p < 197 gilt». L. E. Dickson verwendete später Germains Theor