Kanıt doğruysa, başka bir tanınmaya ihtiyaç yoktur
Grigori Yakovlevich Perelman, geometrik analiz, Riemann geometrisi ve geometrik topoloji alanlarındaki katkılarıyla bilinen bir Rus matematikçidir.
1990'larda, kısmen Yuri Burago, Mikhael Gromov ve Anton Petrunin ile işbirliği yaparak, Aleksandrov uzaylarının incelenmesine önemli katkılar yaptı. 1994'te, önceki 20 yıl boyunca açık bir problem olan Riemann geometrisindeki ruh varsayımını kanıtladı. 2002 ve 2003'te, Ricci akışının analizi için yeni teknikler geliştirerek, Poincaré varsayımı ve Thurston'un geometrizasyon varsayımının kanıtının detaylı bir taslağını sundu; bunlardan ilki bir yüzyıl boyunca matematikte ünlü bir açık problem olmuştu. Perelman'ın çalışmasının tüm detayları sonraki birkaç yıl içinde çeşitli yazarlar tarafından tamamlandı ve açıklandı.
Ağustos 2006'da Perelman'a "geometriye yaptığı katkılar ve Ricci akışının analitik ve geometrik yapısına dair devrimci içgörüleri" nedeniyle Fields Madalyası teklif edildi, ancak ödülü reddetti ve şöyle belirtti: "Para veya şöhretle ilgilenmiyorum; hayvanat bahçesindeki bir hayvan gibi sergilenmek istemiyorum." 22 Aralık 2006'da, bilimsel dergi Science, Perelman'ın Poincaré varsayımının kanıtını bilimsel "Yılın Atılımı" olarak tanıdı; bu, matematik alanında ilk böyle bir tanınmadır.
18 Mart 2010'de, Poincaré varsayımının çözülmesi için ilk Clay Binyıl Ödülünü almaya hak kazanmış olduğu duyuruldu. 1 Temmuz 2010'da, bir milyon dolarlık ödülü reddetti ve Clay Enstitüsü yönetim kurulunun kararının Poincaré varsayımını çözmede yaptığı katkının, varsayıma saldırmak için kısmen amaç taşıyan Ricci akışını öncü olarak kullanan matematikçi Richard S. Hamilton'unkinden daha fazla olmadığı gerekçesiyle yapıldığını söyledi. 1996'da daha önceden Avrupa Matematik Derneği'nin prestijli ödülünü de reddetmiştir.
Erken yaşam ve eğitim
Grigori Yakovlevich Perelman, Sovyet Birliği'nin Leningrad'ında (şimdiki Saint Petersburg, Rusya) 13 Haziran 1966'da, Rus-Yahudi ebeveynleri Yakov (şimdi İsrail'de yaşayan) ve Lyubov'un (hâlâ Saint Petersburg'da Grigori ile yaşayan) çocuğu olarak doğdu. Grigori'nin annesi Lyubov, onu yetiştirmek için matematik alanında yüksek lisans eğitimini terk etti. Grigori'nin matematiksel yeteneği on yaşında ortaya çıktı ve annesi onu Sergei Rukshin'in okul sonrası matematik eğitim programına kaydettirdi.
Matematiksel eğitimi, gelişmiş matematik ve fizik programlarına sahip özel bir okul olan Leningrad İkinci Dereceli Okul #239'de devam etti. Grigori beden eğitimi dışında tüm derslerde başarılı oldu. 1982'de, Uluslararası Matematik Olimpiyatı'nda yarışan Sovyet Birliği takımının üyesi olarak, mükemmel bir puan elde ederek altın madalya kazandı. Leningrad Devlet Üniversitesi'nin Matematik ve Mekanik Okulu'nda sınav yapılmaksızın ve doğrudan üniversiteye kayıt olarak öğrenci olarak devam etti.
1990'da doktora derecesini tamamladıktan sonra, Perelman, danışmanları Aleksandr Aleksandrov ve Yuri Burago olan SSCB Bilim Akademisi'nin Steklov Matematik Enstitüsü'nün Leningrad Bölümü'nde çalışmaya başladı. 1980'lerin sonlarında ve 1990'ların başlarında, geometrici Mikhail Gromov'un güçlü önerisiyle, Perelman Birleşik Devletler'deki çeşitli üniversitelerde araştırma pozisyonları elde etti. 1991'de Perelman, eğriliği aşağıdan sınırlı Aleksandrov'un uzayları üzerine yaptığı çalışmalar için Saint Petersburg Matematik Derneği'nin Genç Matematikçi Ödülü'nü kazandı. 1992'de, New York Üniversitesi'nin Courant Enstitüsü'nde ve Stony Brook Üniversitesi'nde birer yarıyıl olmak üzere davet edildi; burada Ricci eğriliği alt sınırlandırılmış manifoldlar üzerinde çalışmaya başladı. Buradan, 1993'te Kaliforniya Üniversitesi, Berkeley'deki iki yıllık Miller Araştırma Bursu'nu kabul etti. 1994'te ruh varsayımını kanıtladıktan sonra, Princeton ve Stanford da dahil olmak üzere ABD'deki birçok üst düzey üniversiteden iş teklifi aldı, ancak hepsini reddetti ve 1995 yazında yalnızca araştırma pozisyonu için Saint Petersburg'daki Steklov Enstitüsü'ne geri döndü.
1990'larda yapılan araştırmalar
Perelman'ın bu dönemdeki en dikkate değer çalışması, kavramı 1950'lere dayanan Aleksandrov uzayları alanında yapılmıştır. Yuri Burago ve Mikhail Gromov ile birlikte yazılan iyi bilinen 1992 tarihli bir makalede, Perelman bu alanın modern temellerini, Gromov-Hausdorff yakınsamasını bir düzenleyici ilke olarak kullanan bir kişi tarafından ortaya koymak için belirtmiştir. 1993'te Perelman, bu pürüzsüz olmayan uzaylarda Morse teorisinin bir kavramını geliştirdi. Aleksandrov uzayları üzerine yaptığı çalışmalar için, Perelman 1994 Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde ders vermeye davet edildi.
1972'de formüle edilen Cheeger ve Gromoll'ün ruh varsayımı şöyle der:
Farz edelim ki (M, g) tam, bağlantılı ve kompakt olmayan Riemann manifoldu kesitsel eğriliği K ≥ 0 ile ve M'de kesitsel eğriliği (tüm kesitsel yönlerde) kesinlikle pozitif olan bir nokta varsa. Öyleyse M'nin ruhu bir noktadır; eşdeğer olarak M, Rn'ye difeomorfiktir.
Bu, Cheeger ve Gromoll'ün tüm kesitsel eğriliklerin pozitif olması daha güçlü varsayımı altında sonucu sağlamış oldukları için ilgi çekici idi. Negatif olmayan eğrililikten pozitif eğrililiğe deformasyon iyi anlaşılamadığı için, ruh varsayımı önerildi. 1994'te Perelman, genel durumda K ≥ 0 için, Sharafutdinov'un retraksiyonu P : M → S'nin bir batma olduğunu belirleyerek varsayımın kısa ve zarif bir kanıtını verdi.
1994'ten 1997'ye kadar olan Perelman'ın üç dikkate değer makalesi, pozitif Ricci eğriliğine sahip çeşitli ilginç Riemann manifoldlarının inşası ile ilgilidir.
Geometrizasyon ve Poincaré varsayımları
Sorun
Fransız matematikçi Henri Poincaré tarafından 1904'te ortaya konan Poincaré varsayımı, topolojinin ana problemlerinden biri idi. Bir 3-küre üzerindeki herhangi bir döngü — dört boyutlu Öklid uzayında orijından 1 uzaklıkta olan noktalar seti tarafından örneklendiği gibi — bir noktaya daraltılabilir. Poincaré varsayımı, bir noktaya daraltılabilen herhangi bir kapalı üç boyutlu manifoldun topolojik olarak 3-küre olduğunu iddia eder. Analoji sonuç, 1960'tan bu yana Stephen Smale'in çalışması gibi beş büyük veya buna eşit boyutlarda doğru bilinmektedir. Dört boyutlu durum daha uzun direndi ve sonunda 1982'de Michael Freedman tarafından çözüldü. Ancak üç-manifoldların durumu hepsinin en zoru olmuştur. Kabaca söylemek gerekirse, bu, bir üç-manifoldu topolojik olarak manipüle etmede "sorunlu bölgeleri" başka bir şeye müdahale etmeden yolundan çekmek için çok az boyut olması nedeniyledir. Üç boyutlu duruma en temel katkı Richard S. Hamilton tarafından yapılmıştır. Perelman'ın rolü Hamilton programını tamamlamaktı.
Perelman'ın kanıtı
Kasım 2002'de Perelman, geometrizasyon varsayımının kanıtını özetlediğini iddia ettiği üç ön baskıdan ilkini arXiv'e yayınladı; Poincaré varsayımı bunun özel bir durumudur. Bunu 2003'teki diğer iki ön baskı izledi.
Perelman, varsayımın kanıtı için Richard S. Hamilton'un programını değiştirdi. Merkezi fikir Ricci akışı kavramıdır. Hamilton'un temel fikri, verilen bir üç-manifoldun geometrik olarak bozulduğu ve bozulma sürecinin ısı denklemine benzer bir diferansiyel denklem tarafından yönetildiği bir "dinamik süreç" formüle etmektir. Çok daha önce Riemann'ı zeta işlevinin sıfırları üzerine Riemann hipotezini belirtmeye motive eden ısı denklemi, sıcaklık gibi skaler miktarların davranışını açıklar. Yüksek sıcaklık konsantrasyonlarının, bir nesne boyunca düzgün bir sıcaklık elde edilene kadar yayılacağını garanti eder. Benzer şekilde, Ricci akışı, Ricci eğriliği tensörü olan tensörel bir miktarın davranışını açıklar. Hamilton'un umut ettiği şey, Ricci akışı altında yüksek eğrilik konsantrasyonlarının, tüm üç-manifold üzerinde düzgün bir eğrilik elde edilene kadar yayılacağıdır. Eğer öyleyse, herhangi bir üç-manifold ile başlayıp Ricci akışının meydana gelmesine izin verirseniz, ilke olarak, sonunda bir tür "normal form" elde etmelisiniz. William Thurston'a göre, bu normal form, her biri farklı bir geometri türüne sahip olan az sayıda olasılıktan birini almalıdır; buna Thurston model geometrileri denir.
Ancak, sürecin "tekil noktalar" geliştirilerek engelleneceği yaygın olarak beklenmekteydi. 1990'larda, Hamilton meydana gelebilecek tekil nokta türlerini anlamada ilerleme kaydetti, ancak kapsamlı bir açıklama sağlayamadı. Perelman'ın makaleleri bir çözümün taslağını yaptı. Perelman'a göre, her tekil nokta ya silindirin kendi eksenine çökmesi ya da kürenin merkezine çökmesi gibi görünmektedir. Bu anlayışla, standard Ricci akışının değiştirilmesini, Ricci akışı cerrahisi ile adlandırılan, kontrollü bir şekilde gelişen tekil bölgeleri sistematik olarak kesebilen bir modifikasyonunu inşa edebildi. Ricci akışı ile cerrahisi fikri, Hamilton'un başarıyla 1997'de belirli kısıtlanmış geometrik koşullara tabi daha yüksek boyutlu uzaylar ayarında yürüttüğü 1993 makalesi gibi zaman zaman mevcuttu. Perelman'ın cerrahisi prosedürü Hamilton'unkine geniş ölçüde benziyordu, ancak teknik yönleriyle çarpıcı bir şekilde farklıydı.
Perelman, sonlu zamanda gelişen herhangi bir tekil noktanın esasen 3-manifoldun asal ayrışmasına karşılık gelen belirli küreler boyunca bir "sıkışma" olduğunu göstermiştir. Ayrıca, herhangi bir "sonsuz zaman" tekil noktası, JSJ ayrışmasının belirli çöken parçalarından kaynaklanmaktadır. Perelman'ın çalışması bu iddiayı kanıtlar ve dolayısıyla geometrizasyon varsayımını kanıtlar.
Üç makalenin içeriği aşağıda özetlenmiştir:
- İlk ön baskı, Ricci akışı için entropi formülü ve geometrik uygulamalarında, Ricci akışı çalışmasında birçok yeni teknik sağlanmakta, ana sonucu akışın yüksek eğrilik bölgelerinin kantitatif karakterizasyonunu veren bir teoremdir.
- İkinci ön baskı, Üç-manifoldlarda cerrahili Ricci akışında, ilk makalenin bazı yanlış ifadelerini düzeltir ve bazı detayları doldurur ve cerrahisi prosedürünü reçete etmek için ilk makalenin ana sonucunu kullanır. Makalenin ikinci yarısı, sonsuz zaman boyunca var olan Ricci akışlarının analizine ayrılmıştır.
- Üçüncü ön baskı, Belirli üç-manifoldlardaki Ricci akışına çözümlerin sonlu yok olma zamanında, Poincaré varsayımının kanıtına ikinci makalenin ikinci yarısındaki argümanları yaşlı olan bir kısayol sağlar. Poincaré varsayımının varsayımlarını karşılayan herhangi bir uzayda, cerrahili Ricci akışının yalnızca sonlu zaman boyunca var olduğunu gösterir, böylece Ricci akışının sonsuz zaman analizi ilgisiz hale gelir.
Tobias Colding ve William Minicozzi II, Perelman'ın üçüncü ön baskısına tamamen alternatif bir argüman sağlamışlardır. Argümanları, 1980'lerde geliştirilen bazı sofistike geometrik ölçü teorisi argümanlarının ön koşulu verildiğinde, özellikle basittir.
Doğrulama
Perelman'ın ön baskıları matematikçi topluluğunun dikkatsini çabucak çekti, ancak anlaşılması zor olarak yaygın olarak görülüyordu, çünkü bunlar biraz kısaca yazılmıştı. Akademik matematiksel yayınlardaki olağan stilin aksine, birçok teknik detay atlanmıştı. Perelman'ın Ricci akışının temelleri için büyük katkılar yaptığı kısa sürede belirgin hale geldi, ancak bu katkıların geometrizasyon varsayımını veya Poincaré varsayımını kanıtlamak için yeterli olup olmadığı matematikçi topluluğu tarafından hemen açık değildi.
Nisan 2003'te Perelman, çalışması hakkında kısa ders serilerine başvurmak ve ilgili alanlar hakkında uzmanlar için bazı detayları açıklamak için Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University ve New York University'yi ziyaret etti.
Haziran 2003'te, her ikisi de o zamanlar Michigan Üniversitesi'nden olan Bruce Kleiner ve John Lott, Lott'un web sitesinde Perelman'ın ilk ön baskısında birçok detayı bölüm bölüm dolduran notları yayınladılar. Eylül 2004'te, notlarları Perelman'ın ikinci ön baskısını içerecek şekilde güncellendiler. Daha sonraki revizyon ve düzeltmelerden sonra, 25 Mayıs 2006'da arXiv'e bir sürüm gönderiler; bununla değiştirilen bir versiyonu 2008'de Geometry & Topology akademik dergisinde yayınlandı. 2006 Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde Lott şöyle dedi: "Perelman'ın çalışmasını incelemek zaman almıştır. Bu, kısmen Perelman'ın çalışmasının orijinalliği ve kısmen argümanlarının teknik sofistikasyonundan kaynaklanmaktadır. Tüm göstergeler argümanlarının doğru olduğunu göstermektedir." Makalesinin girişinde, Kleiner ve Lott şu şekilde açıklanmıştır:
Perelman'ın kanıtları kısadır ve bazen taslak niteliğindedir. Bu notların amacı, [Perelman'ın ilk iki ön baskısında] eksik olan detayları sağlamaktır... Kanıtlar konusunda, [Perelman'ın makaleleri] bazı yanlış ifadeler ve eksik argümanlar içerir; bunları okuyucuya işaret etmeye çalıştık. ([Perelman'ın ilk makalesindeki] bazı hatalar [Perelman'ın ikinci makalesinde] düzeltilmiştir.) Ciddi sorunlar bulamadık; yani Perelman tarafından sunulan yöntemler kullanılarak düzeltilemeyen sorunlar.
Haziran 2006'da, Asian Journal of Mathematics yayınlandı
