自然は3次元以上の次元を許さない…それゆえ、立体が第4、第5、第6、またはさらなる次元に引き伸ばされたと語ることは、まことに不適切であると正当に思われるかもしれない。
John Wallisは、微分積分学の発展に部分的な功績を与えられているイギリスの聖職者であり数学者である。1643年から1689年の間、彼は議会およびその後の王室の主要な暗号解読者として働いた。彼は無限大の概念を表すために記号∞を導入したことで知られている。彼は同様に無限小に対して1/∞を使用した。John Wallisはニュートンの同時代人であり、初期の数学ルネッサンスの最も偉大な知識人の一人であった。
生涯
John Wallisはアシュフォード、ケント州で生まれた。彼は牧師のJohn Wallisとjoanna Chapmanの5人の子供の3番目であった。彼は最初アシュフォードの学校で教育を受けたが、1625年に腺ペストの大流行の後、テンターデンのJames Movatの学校に移った。Wallisは1631年にフェルステッドのMartin Holbeachの学校として知られていたフェルステッド・スクールで数学に初めて接した。彼は数学を楽しんだが、「当時のわれわれにおいては、数学は学問的研究とはほとんど見なされず、むしろ機械的なものであった」（Scriba 1970）ため、彼の研究は不規則であった。フェルステッドの学校では、Wallisはラテン語を話したり書いたりすることを学んだ。この時までに、彼はフランス語、ギリシャ語、ヘブライ語にも精通していた。彼が医者になることが意図されていたため、1632年にケンブリッジ大学のEmmanuel Collegeに送られた。そこにいる間、彼は血液循環説に関する論文を保有していた。これはヨーロッパではこの理論が論争で公然と支持された最初の機会であったと言われている。しかし、彼の関心は数学に集中していた。彼は1637年に文学士号を、1640年に修士号を取得し、その後聖職に入った。1643年から1649年まで、彼はウェストミンスター宗教会議の非投票権記者として働いた。彼は1644年にケンブリッジのQueens' Collegeのフェローに選出されたが、その後の結婚により辞職しなければならなかった。
この間ずっと、Wallisはおそらくフェルステッド・スクールでのHolbeachへの接触の結果として、議会党に近い立場にあった。彼は王党派の派遣文書を解読する際に彼らに大きな実用的援助をもたらした。当時の暗号化の品質はまちまちであった。François Vièteなどの数学者の個別的な成功にもかかわらず、暗号設計と分析の背後にある原則はほとんど理解されていなかった。ほとんどの暗号は、可変鍵に基づくシステムではなく、秘密のアルゴリズムに依存するアドホック手法であった。Wallisは後者がはるかに安全であることを認識し、それらを「破られない」と説明してさえいたが、この主張を確信するのに十分な確信はなく、暗号化アルゴリズムの公開を奨励することはなかった。彼はまた外国の力による暗号の使用について懸念を抱いており、例えば、1697年のGottfried Leibnizによるハノーファー学生への暗号化教育の要請を拒否した。
ロンドンに戻った—彼は1643年にセント・ガブリエル・フェンチャーチのチャプレンに任命されていた—Wallisは後に王立協会へと発展する科学者のグループに参加した。彼はついに彼の数学的関心を満たすことができるようになり、1647年に数週間でWilliam Oughtredの『数学の鍵』（Clavis Mathematicae）を習得した。彼はすぐに自分の論文を書き始め、広範なトピックを扱い、彼の人生の残りの間それを続けた。Wallisはイギリスで数学的概念に関する最初の調査を書き、そこでヒンドゥー・アラビア数字体系について議論した。
Wallisは温和なプレスビテリアン派に参加してCharles I処刑に対する反論に署名し、それによって独立派の恒久的な敵意を招いた。彼らの反対にもかかわらず、1649年にオックスフォード大学のSavilian幾何学教授職に任命され、1703年11月8日の彼の死までそこに住んでいた。1650年に、Wallisは大臣として叙任された。その後、彼はSir Richard DarleyとLady Vereとの私的なチャプレインとして2年間を過ごした。1661年に、彼はSavoy会議でのプレスビテリアン派の代表12人の一人であった。
彼の数学的著作の他に、彼は神学、論理学、英文法、哲学について著述し、Littlecote Houseで聾の少年に話すことを教えるためのシステムの考案に関わっていた。William Holderは以前、聾の男Alexander Pophamに「明確かつ明瞭に、そして良い優雅な音色で」話すことを教えていた。Wallisはその後この功績を主張し、Holderに「隣人を略奪し、彼らの戦利品で自分を飾る」ことを非難させた。
オックスフォード大学のSavilian幾何学教授としてのWallisの任命
1647年に始まったオックスフォードの議会の視察は、1648年11月のSavilian幾何学教授および天文学教授を含む多くの上級学者をその職から除去した。1649年にWallisはSavilian幾何学教授に任命された。Wallisはおそらく彼の王党派の前任者Peter Turnerと同様に政治的根拠に基づいて選ばれたようであり、後者は2つの教授職に任命されたにもかかわらず数学的著作を出版することはなかった。一方、Wallisはおそらく国の主要な暗号解読者であり、後に王立協会となる科学者の非公式グループの一部であったが、数学者としての特に評判はなかった。それにもかかわらず、Wallisの任命は、彼がSavilian教授として働いた54年間の彼のその後の仕事によって豊かに正当化された。
数学への貢献
Wallisは三角法、計算、幾何学、および無限級数の分析に重要な貢献をした。彼の『数学著作集I』（1695年）で、彼は「連分数」という用語を導入した。
Wallisは負の数が無より小さいという現在通常の考えを不合理として拒否したが、それが無限大より大きい何かであるという見方を受け入れた。負の数が無限大より大きいという議論は商1 xを含み、xが正の側からx = 0の点に接近してから越えるとどうなるかを考慮している。これにもかかわらず、彼は一般的に数直線の考えの発信者として認められており、数はその上で幾何学的に表され、負の数は正の数の長さに対して反対方向の長さで表される。
解析幾何学
1655年に、Wallisは円錐曲線に関する論文を出版し、それらは分析的に定義された。これは最初の本であり、これらの曲線は2次の曲線として考慮および定義されている。René Descartes解析幾何学の研究における知覚される難しさと不明瞭さの一部を除去するのに役立った。『円錐曲線に関する論文』において、Wallisは無限大を表すために記号∞を普及させた。彼は書いた。「Cavalieri無分割性の幾何学に従う任意の平面は、無限数の平行線、または私が好むように、無限数の同じ高さの平行四辺形で構成されていると仮定する。これらのそれぞれの高さを、全体の高さの無限小部分1/∞とし、記号∞を無限大を表す記号とし、すべての高さを図形の高さを構成させる。」
積分計算
Wallisの最も重要な著作である『無限の算術』（Arithmetica Infinitorum）は1656年に出版された。この論文では、Descartesおよびcavallieriの分析方法が体系化および拡張されたが、いくつかの考えは批判の対象となった。彼は円錐曲線に関する短い論文の後、正の整数からの有理数への冪の標準記法の開発を行うことによって始めた。
この発見の多くの代数的応用を省略して、彼は次に積分によって、曲線y = xmと、x軸および任意の縦線x = hによって囲まれた面積を見つけ、この面積と同じ底辺および同じ高さの平行四辺形の面積との比は1/m + 1であることを証明し、Cavalieriの求積法を拡張した。彼はおそらく、同じ結果が曲線y = axmにも当てはまることを想定していたであろう。ここで、aは任意の定数であり、mは任意の正または負の数であるが、彼はm = 2の放物線とm = −1の双曲線の場合のみを議論した。後者の場合、彼の結果の解釈は不正確である。彼は次に、同様の結果が形式の任意の曲線に対して書き下すことができることを示した。
したがって、曲線のxの縦線yをxの冪に展開できる場合、その面積を決定することができる。すなわち、曲線の方程式がy = x + x1 + x2 + ...である場合、その面積はx + x2/2 + x3/3 + ...であると彼は言う。彼はこれをy = x − x2、y = x − x21、y = x − x22などの曲線の求積に適用し、x = 0およびx = 1の限界の間で取った。面積がそれぞれ1、1/6、1/30、1/140などであることを示す。彼は次にy = x1/mの形式の曲線を考慮し、この曲線とx = 0およびx = 1の線によって囲まれた領域の面積は、同じ底辺と同じ高さmを持つ矩形の面積に等しいという定理を確立した：m + 1。これは計算と等価である。
彼はこれを放物線によって説明し、この場合m = 2である。彼はy = xp/qの形式の曲線に対応する結果を陳述したが、証明はしなかった。
Wallisは曲線の方程式を上記の形式に縮小することにおいて相当な独創性を示したが、彼は二項定理に詳しくなかったため、彼はy = 1 − x 2の方程式である円の求積を効果することができなかった。これは幾何平均として考えられた可能性がある。
の値は、すなわち、1および2 3は、この級数の法則に従うように選択されるべきである。これは、ここで詳細に説明されない、手の込んだ方法により、補間された項の値につながり、これは取ることと同等である。
これは現在Wallis積として知られている。
また、この著作では、連分数の形成と特性が議論され、Brouncker がこれらの分数を使用することによってこのテーマが注目されるようになった。
数年後の1659年に、Wallisはblaise Pascalによって提案されたサイクロイドの問題の解を含む論文を出版した。このなかで、彼は彼の『無限の算術』に記述された原則がどのように代数曲線の整流に使用できるかを説明し、1657年に彼の弟子William Neileによって発見された半立方放物線x3 = ay2の長さを見つけるための問題の解を与えた。楕円と双曲線を整流するためのすべての試みが必然的に無効であったため、どの曲線も整流することができないと仮定されていた。実際、Descartesはそれがそうであると確実に主張していた。対数螺旋はEvangelize Torricelliによって整流されており、その長さが決定された円以外の最初の曲線であったが、NeileとWallisによる代数曲線への拡張は新しいものであった。サイクロイドは次に整流された曲線であり、これは1658年にChristopher Wrenによって行われた。
1658年初頭に、Neileの発見とは独立した同様の発見がvan Heuraëtによって行われ、これは1659年のDescartes『幾何学』（Geometria）のvan Schootenの版で出版された。Van Heuraëtの方法は次の通りである。彼は曲線を直交軸を参照するように仮定し、そしてx、yがそれ上の任意の点の座標であり、nが法線の長さであり、座標がx、ηである別の点がη：h = n：yとなるように取られた場合、ここでhは定数である。dsが求められた曲線の長さの要素である場合、同様の三角形によりds：dx = n：yである。したがって、h ds = η dxである。従って、点x、ηの軌跡の面積が見つけられれば、最初の曲線を整流することができる。このようにvan Heuraëtは曲線y3 = ax2の整流を達成したが、放物線y2 = axの整流は双曲線の求積が必要であるため不可能であると付け加えた。NeileとWallisによって与えられた解はvan Heuraëtによって与えられたものと多少似ているが、一般的な規則は述べられておらず、分析は不正確である。3番目の方法は1660年にFermatによって提案されたが、それは優雅でなく、面倒である。
物体の衝突
物体の衝突の理論は、1668年に王立協会によって数学者の考慮のために提唱された。Wallis、Christopher Wren、およびChristian Huygenは、正しく、類似した解決策を送り、すべてが現在運動量の保存と呼ばれるものに依存していた。しかし、WrenとHuygenがそれぞれの理論を完全に弾性体（弾性衝突）に限定した一方で、Wallisは不完全に弾性体（非弾性衝突）も考慮した。これに続いて、1669年に静力学重心に関する著作が、1670年に動力学に関する著作が続いた。これらはその当時この科目について知られていたことの便利な概要を提供する。
代数学
1685年にWallisは主題の発展の歴史的説明が先行する『代数学』（Algebra）を出版した。この本には、有用な情報が大量に含まれている。1693年に発行された第2版は、彼の『著作集』の第2巻を形成し、かなり拡大された。この代数は、公式の最初の体系的な使用を含むことで注目に値する。与えられた大きさはここでは、単位の同じ種類の大きさへそれが持つ数値比で表される。したがって、Wallisが2つの長さを比較したい場合、彼はそれぞれを長さの単位がいくつか含まれているかの観点から見ている。これはおそらく、一様な速度で移動する粒子によってどの時間内に説明される空間の間の関係がWallisによって公式で表されていることに注目することによってより明確になるであろう。
s = vt,
ここでsは、空間の長さの単位への比率を表す数である一方、
