Considerando que la Naturaleza no admite más de tres dimensiones ... parece muy impropio hablar de un sólido ... extendido a una cuarta, quinta, sexta, o dimensión ulterior.
John Wallis fue un clérigo y matemático inglés a quien se le atribuye crédito parcial por el desarrollo del cálculo infinitesimal. Entre 1643 y 1689 sirvió como criptógrafo jefe del Parlamento y, posteriormente, de la corte real. Se le acredita la introducción del símbolo ∞ para representar el concepto de infinito. De manera similar, utilizó 1/∞ para un infinitesimal. John Wallis fue contemporáneo de Newton y uno de los grandes intelectuales del renacimiento temprano de las matemáticas.
Vida
John Wallis nació en Ashford, Kent. Era el tercero de cinco hijos del Reverendo John Wallis y Joanna Chapman. Inicialmente fue educado en una escuela en Ashford pero se trasladó a la escuela de James Movat en Tenterden en 1625 tras un brote de peste. Wallis fue expuesto por primera vez a las matemáticas en 1631, en Felsted School, entonces conocida como la escuela de Martin Holbeach en Felsted; disfrutaba las matemáticas, pero su estudio fue errático, ya que "las matemáticas, en esa época entre nosotros, apenas eran consideradas como estudios académicos, sino más bien mecánicos" Scriba 1970. En la escuela de Felsted, Wallis aprendió a hablar y escribir latín. Para entonces, también era competente en francés, griego y hebreo. Como estaba destinado a ser médico, fue enviado en 1632 al Emmanuel College, Cambridge. Mientras estuvo allí, realizó un acto sobre la doctrina de la circulación de la sangre; se dice que fue la primera ocasión en Europa en la que esta teoría fue públicamente mantenida en una disputa. Sin embargo, sus intereses se centraban en las matemáticas. Recibió su licenciatura en 1637 y una maestría en 1640, entrando posteriormente al sacerdocio. De 1643 a 1649, sirvió como escriba sin voto en la Asamblea de Westminster. Fue elegido como miembro de Queens' College, Cambridge en 1644, cargo del que tuvo que renunciar tras su matrimonio.
Durante este tiempo, Wallis había estado cerca del partido parlamentario, quizás como resultado de su exposición a Holbeach en Felsted School. Les prestó una gran asistencia práctica en el desciframiento de despachos realistas. La calidad de la criptografía en esa época era mixta; a pesar de los éxitos individuales de matemáticos como François Viète, los principios subyacentes en el diseño y análisis de cifras eran muy poco comprendidos. La mayoría de los cifras eran métodos ad hoc que dependían de un algoritmo secreto, en lugar de sistemas basados en una clave variable. Wallis se dio cuenta de que estos últimos eran mucho más seguros – incluso describiéndolos como "inquebrantables", aunque no estaba lo suficientemente seguro en esta afirmación para alentar la revelación de algoritmos criptográficos. También estaba preocupado por el uso de cifras por potencias extranjeras, rechazando, por ejemplo, la solicitud de Gottfried Leibniz de 1697 de enseñar criptografía a estudiantes de Hannover.
De regreso a Londres – había sido designado capellán en St Gabriel Fenchurch en 1643 – Wallis se unió al grupo de científicos que más tarde evolucionaría hacia la Royal Society. Finalmente pudo dedicarse a sus intereses matemáticos, dominando la Clavis Mathematicae de William Oughtred en pocas semanas en 1647. Pronto comenzó a escribir sus propios tratados, abordando una amplia gama de temas, que continuó durante el resto de su vida. Wallis escribió el primer estudio sobre conceptos matemáticos en Inglaterra donde discutió el sistema hindú-árabe.
Wallis se unió a los presbiterianos moderados al firmar la protesta contra la ejecución de Carlos I, por lo cual incurrió en la enemistad duradera de los independentistas. A pesar de su oposición, fue designado en 1649 a la Cátedra Savilian de Geometría en la Universidad de Oxford, donde vivió hasta su muerte el 8 de noviembre de 1703. En 1650, Wallis fue ordenado como ministro. Después, pasó dos años con Sir Richard Darley y Lady Vere como capellán privado. En 1661, fue uno de los doce representantes presbiterianos en la Conferencia de Savoy.
Además de sus obras matemáticas, escribió sobre teología, lógica, gramática inglesa y filosofía, y estuvo involucrado en el desarrollo de un sistema para enseñar a hablar a un niño sordo en Littlecote House. William Holder había enseñado anteriormente a un hombre sordo, Alexander Popham, a hablar "de manera clara y distinta, y con un tono bueno y gracioso". Wallis posteriormente reclamó el crédito por esto, lo que llevó a Holder a acusar a Wallis de "saquear a sus Vecinos, y adornarse con sus despojos".
El nombramiento de Wallis como Profesor Savilian de Geometría en la Universidad de Oxford
La visita parlamentaria de Oxford que comenzó en 1647 removió a muchos académicos superiores de sus puestos, incluyendo en noviembre de 1648 a los Profesores Savilianos de Geometría y Astronomía. En 1649, Wallis fue designado como Profesor Savilian de Geometría. Wallis parece haber sido elegido en gran medida por razones políticas, como quizás lo había sido su predecesor realista Peter Turner, quien a pesar de su nombramiento en dos cátedras nunca publicó obras matemáticas alguna; mientras que Wallis era quizás el criptógrafo más destacado de la nación y formaba parte de un grupo informal de científicos que más tarde se convertiría en la Royal Society, no tenía una reputación particular como matemático. Sin embargo, el nombramiento de Wallis resultó ampliamente justificado por su trabajo posterior durante los 54 años que sirvió como Profesor Savilian.
Contribuciones a las matemáticas
Wallis realizó contribuciones significativas a la trigonometría, cálculo, geometría y análisis de series infinitas. En su Opera Mathematica I 1695, introdujo el término "fracción continua".
Wallis rechazó como absurda la idea ahora usual de un número negativo como siendo menor que nada, pero aceptó la opinión de que es algo mayor que el infinito. El argumento de que los números negativos son mayores que el infinito implica el cociente 1 x y considerar qué sucede conforme x se aproxima y luego cruza el punto x = 0 desde el lado positivo. A pesar de esto, generalmente se le acredita como el originador de la idea de la recta numérica, en la cual los números se representan geométricamente en una línea con los números negativos representados por longitudes de dirección opuesta a las longitudes de los números positivos.
Geometría analítica
En 1655, Wallis publicó un tratado sobre secciones cónicas en el cual fueron definidas analíticamente. Este fue el libro más antiguo en el cual estas curvas son consideradas y definidas como curvas de segundo grado. Ayudó a eliminar alguna de la dificultad percibida y oscuridad del trabajo sobre geometría analítica de René Descartes. En el Tratado sobre Secciones Cónicas, Wallis popularizó el símbolo ∞ para el infinito. Escribió: "Supongo que cualquier plano siguiendo la Geometría de los Indivisibles de Cavalieri está hecho de un número infinito de líneas paralelas, o como preferiría, de un número infinito de paralelogramos de la misma altura; deja que la altura de cada uno de estos sea una parte infinitesimal 1/∞ de la altura total, y deja que el símbolo ∞ denote Infinito y la altura de todos para constituir la altura de la figura".
Cálculo integral
Arithmetica Infinitorum, la más importante de las obras de Wallis, fue publicada en 1656. En este tratado los métodos de análisis de Descartes y Cavalieri fueron sistematizados y extendidos, pero algunas ideas fueron objeto de crítica. Comenzó, después de un breve tratado sobre secciones cónicas, desarrollando la notación estándar para potencias, extendiéndolas de números enteros positivos a números racionales:
Dejando las numerosas aplicaciones algebraicas de este descubrimiento, procedió luego a encontrar, por integración, el área encerrada entre la curva y = xm, el eje de x, y cualquier ordenada x = h, y probó que la razón de esta área a la del paralelogramo en la misma base y de la misma altura es 1/m + 1, extendiendo la fórmula de cuadratura de Cavalieri. Aparentemente asumió que el mismo resultado sería verdadero también para la curva y = axm, donde a es cualquier constante, y m cualquier número positivo o negativo, pero discutió solo el caso de la parábola en la cual m = 2 y la hipérbola en la cual m = −1. En este último caso, su interpretación del resultado es incorrecta. Luego mostró que resultados similares pueden ser escritos para cualquier curva de la forma
y por lo tanto que, si la ordenada y de una curva puede ser expandida en potencias de x, su área puede ser determinada: así dice que si la ecuación de la curva es y = x + x1 + x2 + ..., su área sería x + x2/2 + x3/3 + ... Luego aplicó esto a la cuadratura de las curvas y = x − x2, y = x − x21, y = x − x22, etc., tomadas entre los límites x = 0 y x = 1. Muestra que las áreas son, respectivamente, 1, 1/6, 1/30, 1/140, etc. Después consideró curvas de la forma y = x1/m y estableció el teorema de que el área limitada por esta curva y las líneas x = 0 y x = 1 es igual al área del rectángulo en la misma base y de la misma altura como m : m + 1. Esto es equivalente a calcular
Lo ilustró con la parábola, en cuyo caso m = 2. Afirmó, pero no probó, el resultado correspondiente para una curva de la forma y = xp/q.
Wallis demostró considerable ingenio en reducir las ecuaciones de curvas a las formas dadas anteriormente, pero, como no estaba familiarizado con el teorema binomial, no pudo efectuar la cuadratura del círculo, cuya ecuación es y = 1 − x 2 podría ser tomada como la media geométrica de los valores de
es decir, 1 y 2 3 deberían ser elegidos de manera que obedezcan la ley de esta serie. Esto, por un método elaborado que no se describe aquí en detalle, conduce a un valor para el término interpolado que es equivalente a tomar
que ahora se conoce como el producto de Wallis.
En este trabajo también se discuten la formación y propiedades de las fracciones continuas, tema que había sido puesto en prominencia por el uso de Brouncker de estas fracciones.
Unos años después, en 1659, Wallis publicó un tratado que contiene la solución de los problemas sobre la cicloide que habían sido propuestos por Blaise Pascal. En este explicó incidentalmente cómo los principios establecidos en su Arithmetica Infinitorum podrían ser usados para la rectificación de curvas algebraicas y dio una solución del problema de rectificar, es decir, encontrar la longitud de la parábola semicúbica x3 = ay2, que había sido descubierta en 1657 por su estudiante William Neile. Como todos los intentos de rectificar la elipse e hipérbola habían sido necesariamente inefectivos, se había supuesto que ninguna curva podía ser rectificada, como de hecho Descartes había afirmado definitivamente ser el caso. La espiral logarítmica había sido rectificada por Evangelista Torricelli y fue la primera línea curva además del círculo cuya longitud fue determinada, pero la extensión por Neile y Wallis a una curva algebraica fue novedosa. La cicloide fue la siguiente curva rectificada; esto fue realizado por Christopher Wren en 1658.
Temprano en 1658, un descubrimiento similar, independiente del de Neile, fue realizado por van Heuraët, y esto fue publicado por van Schooten en su edición de Geometría de Descartes en 1659. El método de van Heuraët es el siguiente. Supone que la curva está referida a ejes rectangulares; si es así, y si x, y son las coordenadas de cualquier punto en ella, y n es la longitud de la normal, y si se toma otro punto cuyas coordenadas son x, η tales que η : h = n : y, donde h es una constante; entonces, si ds es el elemento de la longitud de la curva requerida, tenemos por triángulos similares ds : dx = n : y. Por lo tanto, h ds = η dx. Por lo tanto, si el área del locus del punto x, η puede ser encontrada, la primera curva puede ser rectificada. De esta manera van Heuraët efectuó la rectificación de la curva y3 = ax2 pero añadió que la rectificación de la parábola y2 = ax es imposible, ya que requiere la cuadratura de la hipérbola. Las soluciones dadas por Neile y Wallis son algo similares a la dada por van Heuraët, aunque ninguna regla general es enunciada, y el análisis es torpe. Un tercer método fue sugerido por Fermat en 1660, pero es inelegante y laborioso.
Colisión de cuerpos
La teoría de la colisión de cuerpos fue propuesta por la Royal Society en 1668 para la consideración de matemáticos. Wallis, Christopher Wren, y Christian Huygens enviaron soluciones correctas y similares, todas dependiendo de lo que ahora se llama la conservación del momento; pero, mientras que Wren y Huygens limitaron su teoría a cuerpos perfectamente elásticos colisión elástica, Wallis consideró también cuerpos imperfectamente elásticos colisión inelástica. Esto fue seguido en 1669 por un trabajo sobre estática centros de gravedad, y en 1670 por uno sobre dinámicas: estos proporcionan un resumen conveniente de lo que entonces se sabía sobre el tema.
Álgebra
En 1685, Wallis publicó Álgebra, precedido por una cuenta histórica del desarrollo del tema, que contiene una gran cantidad de información valiosa. La segunda edición, emitida en 1693 y formando el segundo volumen de su Opera, fue considerablemente ampliada. Este álgebra es notable por contener el primer uso sistemático de fórmulas. Una magnitud dada es representada aquí por la razón numérica que soporta para la unidad de la misma clase de magnitud: así, cuando Wallis quiere comparar dos longitudes, considera cada una como conteniendo tantas unidades de longitud. Esto tal vez será aclarado anotando que la relación entre el espacio descrito en cualquier tiempo por una partícula que se mueve con una velocidad uniforme es denotada por Wallis por la fórmula
s = vt,
donde s es el número que representa la razón del espacio descrito a la unidad de longitud; mientras
