John Wallis

鉴于自然界不允许存在超过三维的维度……谈论一个立体被拉伸到第四、第五、第六或更多维度似乎是非常不恰当的。

John Wallis是一位英国牧师和数学家，他被部分认可为微积分发展的贡献者。在1643年至1689年期间，他担任议会首席密码员，后来担任皇家法院密码员。他被誉为引入符号∞来表示无穷大概念的人。他同样使用1/∞表示无穷小。John Wallis是牛顿的同时代人，也是数学早期文艺复兴时期最伟大的知识分子之一。

生平

John Wallis出生在肯特郡的Ashford。他是牧师John Wallis和Joanna Chapman的五个孩子中的第三个。他最初在Ashford的一所学校接受教育，但在1625年鼠疫爆发后转入Tenterden的James Movat学校。Wallis在1631年首次接触数学，当时在Felsted学校（当时被称为Martin Holbeach学校）；他喜欢数学，但他的学习是零散的，因为"当时在我们这里，数学几乎不被认为是学术研究，而更多是机械性的"Scriba 1970。在Felsted学校，Wallis学会了说和写拉丁文。到此时，他也精通法语、希腊语和希伯来语。按照计划他应该成为医生，所以在1632年被送到剑桥大学Emmanuel College。在那里，他就血液循环学说发表了意见；据说这是欧洲第一次在论证中公开维护这一理论的场合。不过，他的兴趣主要集中在数学上。他在1637年获得文学学士学位，在1640年获得硕士学位，之后进入神职。从1643年到1649年，他担任Westminster Assembly的无表决权书记员。他在1644年被选为剑桥大学Queens' College的研究员，由于他的婚姻而不得不辞去该职位。

在这整个时期，Wallis一直与议会党关系密切，这可能是由于他在Felsted学校接触Holbeach的结果。他在破译保皇党调度方面为他们提供了很大的实际帮助。当时密码学的质量参差不齐；尽管数学家如François Viète取得了个人的成功，但密码设计和分析的基本原理理解很不够。大多数密码是依赖于秘密算法的临时方法，而不是基于可变密钥的系统。Wallis意识到后者要安全得多——甚至称之为"不可破译的"，但他对这一论断没有足够的信心来鼓励揭露密码学算法。他也对外国使用密码表示担忧，例如拒绝Gottfried Leibniz在1697年要求教授汉诺威学生密码学的请求。

回到伦敦——他在1643年被任命为St Gabriel Fenchurch的牧师——Wallis加入了后来演变成皇家学会的科学家团体。他终于能够满足他的数学兴趣，在1647年的几周内掌握了William Oughtred的Clavis Mathematicae。他很快开始撰写自己的论著，涉及广泛的主题，并在他余生中继续这样做。Wallis撰写了英国第一部关于数学概念的调查，其中讨论了印度-阿拉伯数字系统。

Wallis与温和的长老派一起签署了反对Charles I行刑的抗议，由此招致独立派的持久敌意。尽管他们反对，他在1649年被任命为牛津大学Savilian几何学教授，他在那里生活到1703年11月8日去世。1650年，Wallis被按立为牧师。之后，他作为私人牧师与Sir Richard Darley和Lady Vere一起度过了两年。1661年，他是Savoy会议上十二位长老派代表之一。

除了数学著作外，他还撰写了有关神学、逻辑、英文语法和哲学的文章，他还参与设计了一套在Littlecote House教一个聋男孩说话的系统。William Holder早前教过一个聋人Alexander Popham"清晰地、又带有良好而优美的音调"说话。Wallis后来声称自己为此获得了信誉，导致Holder指责Wallis"掠夺邻居，用他们的战利品装扮自己"。

Wallis被任命为牛津大学Savilian几何学教授

始于1647年的Oxford的议会视察除去了许多高级学术官员的职位，包括在1648年11月的Savilian几何学和天文学教授。1649年Wallis被任命为Savilian几何学教授。Wallis似乎主要是出于政治原因被选中的，这也许适用于他的保皇党前任Peter Turner，尽管他被任命担任两个教授职位但从未发表过任何数学著作；而Wallis也许是国家的首席密码学家，是一个非正式科学家团体的成员，该团体后来会成为皇家学会，他没有特别的数学家声誉。尽管如此，Wallis的任命在他担任Savilian教授的54年间随后的工作中证明是非常正当的。

对数学的贡献

Wallis在三角学、微积分、几何学和无穷级数分析方面做出了重大贡献。在他的Opera Mathematica I 1695中，他引入了"连分数"一词。

Wallis拒绝了现在通常的负数概念（即小于零的数），但接受了它是比无穷大更大的东西的观点。负数大于无穷大的论证涉及商1/x，并考虑当x接近然后从正侧跨越x = 0点时会发生什么。尽管如此，他通常被认为是数轴概念的创始人，在数轴中数字在一条线上几何表示，负数由与正数长度方向相反的长度表示。

解析几何

在1655年，Wallis发表了一篇关于圆锥曲线的论著，其中它们被解析定义。这是最早的一本书，其中这些曲线被视为并定义为二次曲线。它有助于消除René Descartes关于解析几何工作中的一些认知困难和模糊性。在《圆锥曲线论著》中，Wallis推广了符号∞表示无穷大。他写道，"我假设按照Cavalieri的不可分原理的几何遵循的任何平面都由无数条平行线组成，或者如我宁愿，由无数条相同高度的平行四边形组成；让这些中每一个的高度是整个高度的无穷小部分1/∞，让符号∞表示无穷大，所有高度合起来构成图形的高度。"

积分学

Arithmetica Infinitorum是Wallis最重要的著作，发表于1656年。在这篇论著中，Descartes和Cavalieri的分析方法被系统化和扩展，但一些思想容易遭到批评。他开始，在关于圆锥曲线的简短论著之后，通过开发幂的标准记法，将其从正整数扩展到有理数：

离开这一发现的众多代数应用，他接下来进行积分，找出曲线y = x^m、x轴和任何纵坐标x = h之间的面积，他证明了这个面积与在相同底座和相同高度的平行四边形的面积之比为1/(m + 1)，扩展了Cavalieri的求积公式。他显然假设同样的结果也适用于曲线y = ax^m，其中a是任何常数，m是任何正数或负数，但他只讨论了m = 2的抛物线和m = −1的双曲线的情况。在后一种情况下，他对结果的解释是不正确的。然后他表明类似的结果可以为任何形式的曲线写下来

因此，如果曲线的纵坐标y可以展开为x的幂，其面积可以确定：因此他说，如果曲线的方程是y = x + x¹ + x² + ...，它的面积将是x + x²/2 + x³/3 + ...他然后将此应用于曲线的求积y = x − x²、y = x − x²¹、y = x − x²²等，取在x = 0和x = 1的限制之间。他表明面积分别为1、1/6、1/30、1/140等。然后他考虑了y = x^1/m形式的曲线并确立了定理，该定理说这条曲线和直线x = 0及x = 1围成的面积等于在相同底座和相同高度为m : m + 1的矩形的面积。这相当于计算

他用抛物线来说明这一点，在这种情况下m = 2。他陈述但没有证明y = x^p/q形式的曲线的相应结果。

Wallis在将曲线的方程简化为上述形式时表现出相当大的足智多谋，但由于他不熟悉二项式定理，他无法进行圆的求积，其方程y = √(1 − x²)可能被视为

的值的几何平均数

也就是说，应该选择1和2/3以遵循这个级数的规律。通过一种复杂的方法（此处不详细描述）导致插值项的值，相当于取

这现在被称为Wallis乘积。

在这个工作中也讨论了连分数的形成和性质，这个主题已经由Brouncker对这些分数的使用而受到关注。

几年后，在1659年，Wallis发表了一篇论著，包含了对Blaise Pascal提出的关于摆线问题的解决方案。在这篇文章中，他顺便解释了他的Arithmetica Infinitorum中阐述的原理如何可以用于代数曲线的整直，并给出了整直问题的解决方案，即找出在1657年被他的学生William Neile发现的半三次抛物线x³ = ay²的长度。由于所有整直椭圆和双曲线的尝试必然都无效，人们认为没有曲线可以被整直，实际上Descartes确实声称这种情况。对数螺线已被Evangelista Torricelli整直，是第一条除圆之外长度被确定的弯曲线，但Neile和Wallis对代数曲线的扩展是新颖的。摆线是下一条被整直的曲线；这是由Christopher Wren在1658年完成的。

在1658年早期，一个独立于Neile发现的类似发现由van Heuraët做出，这被van Schooten在他1659年的Descartes的Geometria版本中发表。Van Heuraët的方法如下。他假设曲线参考直角坐标；如果是这样，如果x、y是它上面任何点的坐标，n是法线的长度，如果取另一点，其坐标是x、η，使得η : h = n : y，其中h是常数；那么，如果ds是所需曲线长度的元素，我们有相似三角形ds : dx = n : y。因此，h ds = η dx。因此，如果可以找到点x、η的轨迹的面积，第一条曲线可以被整直。这样van Heuraët效果了曲线y³ = ax²的整直，但补充说抛物线y² = ax的整直是不可能的。因为它需要双曲线的求积。Neile和Wallis给出的解决方案在某种程度上类似于van Heuraët给出的解决方案，尽管没有阐述通用规则，分析很笨拙。Fermat在1660年建议了第三种方法，但它不优雅且费力。

物体的碰撞

物体碰撞理论是由皇家学会在1668年为数学家考虑而提出的。Wallis、Christopher Wren和Christian Huygens发送了正确且相似的解决方案，全部取决于现在所称的动量守恒；但虽然Wren和Huygens限制他们的理论于完全弹性物体（弹性碰撞），Wallis也考虑了不完全弹性物体（非弹性碰撞）。这在1669年后进行了关于静力学（重心）的工作，在1670年后进行了关于动力学的工作：这些提供了当时所知道的主题的便利总结。

代数

在1685年Wallis发表了《代数》，前面有关于该主题发展的历史说明，其中包含了大量有价值的信息。第二版发行于1693年，构成了他Opera的第二卷，大大扩充。这个代数因包含公式的第一个系统使用而值得注意。给定的量由它与相同数量单位的比率来表示：因此，当Wallis想比较两个长度时，他将每一个视为包含许多长度单位。通过注意到以下情况，也许可以更清楚地说明这一点：以匀速移动的粒子在任何时间内描述的空间之间的关系由Wallis用公式表示

s = vt,

其中s是代表空间描述与长度单位的比率的数字；同时