Doğa, üçten fazla boyutu kabul etmediğine göre ... bir katı cismin dördüncü, beşinci, altıncı veya daha ileri bir boyuta çizilmiş olmasından söz etmek son derece uygunsuz görünebilir.
John Wallis, sonsuz küçük calculus'un gelişimine kısmi olarak kredi verilen bir İngiliz din adamı ve matematikçiydi. 1643 ile 1689 yılları arasında Parlamento ve daha sonra kraliyet sarayı için baş şifreci olarak görev yaptı. Sonsuzluğu temsil etmek için ∞ sembolünü tanıtmakla tanınır. Benzer şekilde sonsuz küçük için 1/∞ kullandı. John Wallis, Newton'un çağdaşı ve matematik'in erken rönesansının en büyük entelektüellerinden biriydi.
Hayatı
John Wallis, Ashford, Kent'te doğdu. Reverend John Wallis ve Joanna Chapman'ın beş çocuğundan üçüncüsüydü. İlk olarak Ashford'daki bir okulda eğitim aldı ancak 1625'te bir veba salgını nedeniyle Tenterden'deki James Movat'ın okuluna taşındı. Wallis ilk kez 1631'de, o zamanlar Martin Holbeach'ın okulu olarak bilinen Felsted'teki Felsted School'da matematikle tanıştırıldı; matematiği sevdi ancak çalışması düzensizdi, çünkü "o zamanlar bizde matematik, akademik çalışmalar olarak değil de mekanik olarak görülürdü" Scriba 1970. Felsted'teki okulda Wallis, Latince konuşmayı ve yazmayı öğrendi. Bu zamana kadar Fransızca, Yunanca ve İbranice de akıcı olmuştu. Doktor olması amaçlandığından, 1632'de Emmanuel College, Cambridge'e gönderildi. Orada, kan dolaşımı teorisi hakkında bir konuşma tuttu; bu teorinin Avrupa'da bir tartışmada ilk kez halka açık olarak savunulduğu söyleniyordu. Ancak ilgileri matematik üzerinde yoğunlaştı. 1637'de Sanat Lisans derecesi aldı ve 1640'ta Yüksek Lisans derecesi aldı, ardından din adamlığına gitti. 1643'ten 1649'a kadar Westminster Meclisi'nde oy kullanmayan bir katip olarak görev yaptı. 1644'te Queens' College, Cambridge'de bir öğretim görevliliğine seçildi ve bu görevinden evliliği nedeniyle istifa etmek zorunda kaldı.
Bu süre boyunca Wallis, Felsted School'daki Holbeach ile olan temasının bir sonucu olarak, belki de Parliyaterian tarafına yakın olmuştu. Onlara Kraliyet gönderilerini şifrelemede büyük pratik yardım sağladı. O zamanın şifreleme kalitesi karışıktı; François Viète gibi matematikçilerin bireysel başarılarına rağmen, şifre tasarımı ve analizi temelinde yatan ilkeler çok kötü anlaşılmıştı. Çoğu şifre, değişken bir anahtara dayanan sistemlerin aksine, gizli bir algoritmaya dayanan geçici yöntemlerdi. Wallis, sonuncuların çok daha güvenli olduğunu fark etti – hatta onları "kırılamaz" olarak tanımladı, ancak bu iddiada yeterince güvenmiyordu ki şifreleme algoritmaları açıklamayı teşvik etsin. Ayrıca yabancı güçler tarafından şifrelerin kullanılması konusunda endişe duyuyordu ve örneğin 1697'de Gottfried Leibniz'in Hannover öğrencilerine şifreleme öğretme talebini reddetti.
Londra'ya döndüğünde – 1643'te St Gabriel Fenchurch'da tiyatral görevlendirilmişti – Wallis, daha sonra Royal Society'ye dönüşecek olan bilim insanları grubuna katıldı. Sonunda matematiksel ilgilerine indülje edebiliyordu, 1647'de William Oughtred'in Clavis Mathematicae'sini birkaç haftada ustalıkla öğrendi. Kısa süre sonra kendi tezlerini yazmaya başladı ve bunu hayatının geri kalanında devam ettirdi. Wallis, İngiltere'de matematiksel kavramlar hakkında ilk anketi yazdı ve Hindu-Arap sistemini tartışmıştı.
Wallis, I. Charles'ın infazına karşı protestoyu imzalayan ılımlı Presbiteryen'lere katıldı, bunun sonucunda Bağımsız'ların kalıcı düşmanlığını kazandı. Onların muhalefetine rağmen 1649'da Oxford Üniversitesi'nde Savilian Geometri Profesörü olarak atandı ve 8 Kasım 1703'te ölümüne kadar orada yaşadı. 1650'de Wallis, bir papaz olarak atandı. Bundan sonra, Sir Richard Darley ve Lady Vere'nin yanında özel kaplan olarak iki yıl geçirdi. 1661'de, Savoy Konferansı'nda on iki Presbiteryen temsilcisinden biriydi.
Matematiksel eserleri dışında teoloji, mantık, İngilizce dilbilgisi ve felsefe hakkında yazdı ve Littlecote House'da sağır bir çocuğa konuşmayı öğretmek için bir sistem tasarlamakta yer aldı. William Holder daha önce sağır bir adam olan Alexander Popham'ı "açık ve belirgin ve iyi ve zarif bir tonda" konuşmayı öğretmişti. Wallis daha sonra bunun için kendisine kredi verme iddiasında bulundu, bu da Holder'ı Wallis'i "Komşularını soyup mallarıyla kendilerini süslemekle" suçlamaya yöneltti.
Wallis'in Oxford Üniversitesi'nde Savilian Geometri Profesörü olarak atanması
1647'de başlayan Oxford'ın Parliyaterian ziyareti, 1648 Kasım'ında Savilian Geometri ve Astronomi Profesörleri de dahil olmak üzere birçok kıdemli akademisyeni görevlerinden çıkardı. 1649'da Wallis, Savilian Geometri Profesörü olarak atandı. Wallis, belki de Kraliyet öncülü Peter Turner gibi siyasi gerekçelerle seçilmiş görünüyor; Turner, iki profesörlük görevine rağmen hiçbir matematiksel çalışma yayınlamadığı halde; Wallis belki de ulusun önde gelen şifreci olmuştu ve daha sonra Royal Society haline gelecek resmi olmayan bir bilim insanları grubunun parçasıydı, matematikçi olarak herhangi bir özel itibarı yoktu. Bununla birlikte, Wallis'in atanması, Savilian Profesörü olarak hizmet ettiği 54 yıl boyunca yaptığı sonraki çalışmalarla haklı çıktı.
Matematik'e Katkıları
Wallis, trigonometri, calculus, geometri ve sonsuz serilerin analizine önemli katkılar yaptı. 1695'teki Opera Mathematica I'de "sürekli kesir" terimini tanıttı.
Wallis, negatif sayıyı hiçten daha az olarak düşünme fikrini saçma olarak reddetti, ancak sonsuzluktan daha büyük bir şey olduğu görüşünü kabul etti. Negatif sayıların sonsuzluktan daha büyük olduğunun argümanı, 1/x bölümünü ve x'in pozitif taraftan x = 0 noktasına yaklaştıkça ve geçtikçe ne olduğunu görmek için gereklidir. Buna rağmen, genel olarak sayı doğrusunun konseptinin yaratıcısı olarak tanınır; burada sayılar bir çizgide geometrik olarak temsil edilir ve negatif sayılar pozitif sayıların uzunluklarının tersi yönde uzunluklar tarafından temsil edilir.
Analitik geometri
1655'te Wallis, konik bölümleri analitik olarak tanımlayan bir inceleme yayınladı. Bu, bu eğrilerin dikkate alındığı ve ikinci derece eğrileri olarak tanımlandığı en eski kitaptı. René Descartes'ın analitik geometri konusundaki çalışmasının bazı algılanan zorluklarını ve kapalılığını kaldırmaya yardımcı oldu. Koni Bölümleri Üzerine İnceleme'de Wallis, sonsuzluk için ∞ sembolünü popülerleştirdi. Yazdığı: "Cavieri'nin Bölünmezler Geometrisi'ni takip eden herhangi bir düzlemin sonsuz sayıda paralel çizgilerden veya tercihime göre aynı yükseklikte sonsuz sayıda paralelkenardan oluştuğunu varsayıyorum; bunların her birinin yüksekliği, tüm yüksekliğin sonsuz küçük bir kısmı 1/∞ olsun ve ∞ sembolü Sonsuzluğu ve tüm yüksekliğini temsil etsin ki şeklin yüksekliğini oluştursun."
İntegral calculus
Wallis'in en önemli çalışması olan Arithmetica Infinitorum, 1656'da yayınlandı. Bu incelemede Descartes ve Cavalieri'nin analiz yöntemleri sistematize edildi ve genişletildi, ancak bazı fikirler eleştiriye açıktı. Koni bölümleri hakkında kısa bir incelemeden sonra başladı, güçler için standart gösterimi geliştirerek bunları pozitif tam sayılardan rasyonel sayılara genişletti:
Bu keşfin çok sayıda cebirsel uygulamasını bırakarak, sonra integrasyon yoluyla y = xm eğrisi, x ekseni ve herhangi bir ordinat x = h tarafından kapsanan alanı bulmaya devam etti ve bu alanın aynı tabanda ve aynı yükseklikteki paralelkenarın alanına oranının 1/m + 1 olduğunu kanıtladı; Cavalieri'nin karesel formülünü genişletti. Görünüşe göre aynı sonucun, a herhangi bir sabit ve m herhangi bir pozitif veya negatif sayı olduğu y = axm eğrisi için de geçerli olacağını varsaydı, ancak m = 2 olduğu parabol durumunu ve m = −1 olduğu hiperbol durumunu tartıştı. İkinci durumda, sonucun yorumu yanlıştır. Daha sonra benzer sonuçların formun herhangi bir eğrisi için yazılabileceğini gösterdi
ve dolayısıyla eğrinin ordinatı y, x'in kuvvetlerine genişletilebildiğinde, alanı belirlenebilir: böylece eğrinin denklemi y = x + x1 + x2 + ... ise, alanı x + x2/2 + x3/3 + ... olur. Daha sonra bunu y = x − x2, y = x − x21, y = x − x22 vb. eğrileri x = 0 ve x = 1 sınırları arasında almak için uyguladı. Alanların sırasıyla 1, 1/6, 1/30, 1/140 vb. olduğunu gösterir. Sonra y = x1/m formunun eğrilerini dikkate aldı ve bu eğri ile x = 0 ve x = 1 çizgileri tarafından sınırlandırılan alanın, aynı taban ve aynı yüksekliğin m : m + 1 yüksekliğinin dikdörtgeninin alanına eşit olduğu teoremini ortaya koydu. Bu, şuna eşdeğerdir:
Bunu parabol ile gösterdi; burada m = 2. y = xp/q formunun eğrisi için karşılık gelen sonucu belirtti ancak kanıtlamadı.
Wallis, eğrilerin denklemlerini yukarıda verilen formlara indirgemede önemli bir zeka gösterdi, ancak binom teoremini bilmediği için daire karesini yapamadı; denklemi y = 1 − x 2 değerlerin geometrik ortalaması olarak alınabilir:
yani 1 ve 2 3 bu serinin yasasına uyacak şekilde seçilmelidir. Bu, burada detaylı olarak açıklanmayan oldukça detaylı bir yöntemle, interpolasyon yapılmış terimin bir değerine yol açar ve bu, şunun alınmasına eşdeğerdir:
bu da Wallis çarpımı olarak bilinir.
Bu çalışmada ayrıca Brouncker'ın bu kesirleri kullanması nedeniyle önemli hale gelen sürekli kesirlerin oluşumu ve özellikleri tartışılır.
Birkaç yıl sonra, 1659'da Wallis, Blaise Pascal tarafından önerilen sikloid üzerindeki sorunların çözümünü içeren bir inceleme yayınladı. Bunu yaparken, Arithmetica Infinitorum'unda koyduğu ilkelerin cebirsel eğrilerin düzeltilmesi için nasıl kullanılabileceğini öğretci bir şekilde açıkladı ve semicubical parabol x3 = ay2'in uzunluğunu düzeltmek, yani bulmak için soruna bir çözüm sağladı ve bu, 1657'de öğrencisi William Neile tarafından keşfedilmişti. Elips ve hiperbolü düzeltmek için tüm girişimler zorunlu olarak etkisiz olmuş ve bu yüzden hiçbir eğrinin düzeltilemeyeceği varsayılmış; hatta Descartes bunu kesin olarak iddia etmişti. Logaritmik spiral, Evangelista Torricelli tarafından düzeltilmiş ve çember dışında uzunluğu belirlenen ilk eğri olmuştur, ancak Neile ve Wallis tarafından cebirsel bir eğriye genişletme yeni bir şeydi. Sikloid, düzeltilen sonraki eğriydi; bunu 1658'de Christopher Wren yaptı.
1658'in başlarında Neile'in bulmuş olduğundan bağımsız benzer bir keşif van Heuraët tarafından yapıldı ve bu, van Schooten tarafından 1659'da Descartes'ın Geometria'sının baskısında yayınlandı. Van Heuraët'in yöntemi aşağıdaki gibidir. Eğrinin dikdörtgen eksenlere atıflandırıldığını varsayar; öylesi ise ve x, y herhangi bir noktanın koordinatları ve n normal uzunluğu ise ve koordinatları x, η olan başka bir nokta alınırsa; η : h = n : y burada h bir sabit ise; ve ds gerekli eğrinin uzunluğu elemanı ise, benzer üçgenlerle ds : dx = n : y elimizde var. Dolayısıyla, h ds = η dx. Dolayısıyla, x, η noktasının odağı alanı bulunabilirse, ilk eğri düzeltilebilir. Bu şekilde van Heuraët, y3 = ax2 eğrisini düzeltmeyi başardı, ancak y2 = ax parabolünün düzeltilmesinin imkansız olduğunu ekledi. çünkü bu hiperbolün karesini gerektirir. Neile ve Wallis tarafından verilen çözümler, van Heuraët tarafından verilen çözüme az çok benzer, ancak genel bir kural ifade edilmemiştir ve analiz beceriksizdir. Üçüncü bir yöntem Fermat tarafından 1660'da önerildi, ancak zarif olmayan ve zahmetlidir.
Cisimlerin çarpışması
Cisimlerin çarpışma teorisi, Royal Society tarafından 1668'de matematikçilerin dikkatine sunuldu. Wallis, Christopher Wren ve Christian Huygens doğru ve benzer çözümler gönderdiler; tümü şu anda momentum korunumu olarak adlandırılan şeye bağlı olarak; ancak Wren ve Huygens teorilerini tamamen esnek cisimlere (esnek çarpışma) kısıtlarken, Wallis aynı zamanda kusurlu esnek cisimleri (esnek olmayan çarpışma) de dikkate aldı. Bunu 1669'da statikler ağırlık merkezleri hakkında bir çalışma, 1670'te ise dinamikler hakkında bir çalışma izledi: bu, o zamanlar konuda bilinen şeylerin uygun bir özeti sağlar.
Cebir
1685'te Wallis, konunun gelişiminin tarihsel bir hesabı tarafından önceki Cebir yayınladı ve çok sayıda değerli bilgi içerir. 1693'te yayınlanan ikinci baskı ve Opera'nın ikinci cildini oluşturan, önemli ölçüde genişletilmiş. Bu cebir, formüllerin ilk sistematik kullanımını içermesi bakımından dikkat çekicidir. Verilen bir büyüklük, aynı türden büyüklüğün birimi ile olan sayısal oranı ile temsil edilir: böylece Wallis iki uzunluğu karşılaştırmak istediğinde, her birini uzunluk birimlerinin çoğu olarak görmek ister. Bunun daha açık hale geldiğini belirtmek için, belirli bir zaman diliminde düzgün bir hızla hareket eden bir parçacık tarafından tanımlanan uzay arasındaki ilişki Wallis tarafından formülle gösterilir:
s = vt,
burada s, tanımlanan uzayın uzunluk birimesine olan oranını temsil eden sayıdır; ancak
